第206回 シーズン21 エピソード6

関数の作り方（後編）

図書室にて

テトラ「あたしは、先ほど出てきた《対応そのもの》というのは、 すごく関数の魂に迫っているように感じたんですが」

僕「魂」

テトラ「でも、そんな《対応そのもの》なんてあいまいなものは、 どうやって数学で扱うことができるんでしょう。 扱っているんでしょうけれど、謎です」

僕「関数で、いちばんわかりやすいのは数式という姿だよね。 《対応そのもの》を扱うのは難しいから」

ミルカ「難しくはない」

テトラ「ミルカさん！」

僕「ミルカさん……びっくりするよ」

ミルカ「テトラがいう《対応そのもの》 としての関数を数学で扱うことは、 難しい話ではない。あいまいな話でもない。 一度わかってしまえば、ということだけれど」

テトラ「そうなんですか？」

僕「うーん、ピンと来ないなあ」

ミルカ「そう？　君が好きな話だと思うのだけれど」

僕「関数のような基本的なものを、何で表すんだろう」

ミルカ「もちろん、集合と論理だ」

テトラ「集合と……論理？」

ミルカ「テトラがいう《対応そのもの》とは何か」

テトラ「対応というのは、そうですね……たとえば、 $y = f(x)$ で、 $x$ の値を一つ決めると、それに対応して $y$ の値が一つ決まるということです」

ミルカ「ふむ。そのとき、 $x$ の値に $y$ の値を対応付けているもの、それが関数 $f$ だと」

テトラ「は、はい。そういうことです。たとえば、 関数 $f$ が、具体的に $2x + 1$ だったら、 関数 $f$ は、 $3$ に対して $7$ を対応付けています」

ミルカ「そのとき、 $3$ と $7$ のペアが鍵になる。 だから、《$3$ に対して $7$ を対応付ける》ことを、順序対（じゅんじょつい）を使って、 $$ (3,7) $$ と同一視しよう」

僕「ああ、なるほど。順序対を使えばいいのか！」

テトラ「ちょっと待ってください、先輩！　そんなにすぐ、《なるほど》らないでください！」

僕「《なるほど》って動詞だったのか……」

テトラ「順序対……」

順序対

ミルカ「二つの集合 $X,Y$ があり、 $X$ の要素 $x$ と、 $Y$ の要素 $y$ を順に並べたものを、順序対 $(x,y)$ という」

テトラ「$(x,y)$ というと点の座標のように見えます」

僕「平面上にある点の座標も、順序対と見なすことができるからだよね。 $X$ を実数全体の集合 $\REAL$ として、 $Y$ も実数全体の集合 $\REAL$ だとして、 $x$ 座標の値と $y$ 座標の値を並べた点 $(x,y)$ は、順序対と見なせる」

ミルカ「いずれにせよ、二つの要素を並べて順序対を作り、それを利用して新しい概念を定義する」

テトラ「順序対のこと……思い出してきました。《順序対で整数を作る》。《順序対で有理数を作る》。 そして《順序対で複素数を作る》という話ですね（第153回参照）」

ミルカ「《数を作る》ときには、 すでに作った数の順序対を使って、新しい数を作った。 それと同じように《関数を作る》ときにも、順序対が使える」

テトラ「ちょっと、ちょっとお待ちください。お話のスピードを、あまり上げないでください……こういうお話でしょうか」

• あたしたちは、関数 $f$ のことを考えています。
• 関数というのは《対応そのもの》なので、《対応そのもの》を数学的に扱いたいと思いました。
• $y = f(x)$ が成り立つとすると、関数 $f$ は $x$ を $y$ に対応付けします。
• だから、順序対 $(x,y)$ を作れば、関数 $f$ を作ることになる……？
• たとえば $f(x)$ が $2x + 1$ だったら、 $3$ を $7$ に対応付けしています……
• この場合は、順序対として $(3,7)$ を作ればよい……？

ミルカ「大きな流れはその通り。 ただし、 $(3,7)$ というのは $x = 3$ のときの対応だけに注目している。 私たちが作りたいものは、 その関数 $f$ が作り出す《すべての対応》を集めたものになる」

僕「順序対の集合を考えることになるんだね！」

ミルカ「そういうこと」

テトラ「順序対の集合……」

ミルカ「関数 $f$ が $y = f(x)$ という形で $x$ を $y$ に対応付けするとしよう。 このとき $x$ というのはどんな集合の要素だろうか」

テトラ「$x$ は、関数 $f$ に与える数ですが……」

ミルカ「つまり $x$ は、関数 $f$ の定義域の要素だ」

テトラ「あっ、そうですね。そうですそうです」

ミルカ「そして $y$ は関数 $f$ の終域の要素だといえる」

テトラ「……はい」

ミルカ「私たちが考える順序対 $(x,y)$ は、 関数の定義に登場する二つの集合、 定義域と終域を使って考えることができそうだ」

テトラ「ちょ、ちょっと頭がごちゃごちゃしてきました……」

ミルカ「では、きちんと筋道を立てて考えてみよう」

集合の直積

ミルカ「まず最初に、集合の直積（ちょくせき）を定義する」

テトラ「直積を $X \times Y$ と書き表すということは、 《積》と関係があるんでしょうか。掛け算……？」

ミルカ「それは後から考えること」

テトラ「え？」

ミルカ「式の書き方や言い回しの前に、定義されている内容の方を考える。 $X$ の要素 $x$ と、 $Y$ の要素 $y$ があり、 それらを並べた順序対 $(x,y)$ 全体の集合が直積。 テトラは、直積を理解した？」

テトラ「直積は……何となくわかります」

ミルカ「何となく？」

僕「《例示は理解の試金石》だよね、テトラちゃん」

テトラ「あっ、そうですね。例を作ってみます。 二つの集合 $X$ と $Y$ を考えます。たとえば、 $$ \begin{align*} X &= \SETL 1, 2, 3 \SETR \\ Y &= \SETL 123, 456 \SETR \\ \end{align*} $$ でもいいでしょうか。そうすると、直積 $X \times Y$ は、 $(1,123)$ や $(2,456)$ や……ぜんぶ書き上げますっ！」

僕「正解！」

ミルカ「これは直積の正しい例」

テトラ「反省しました。 直積の定義を見ているだけだと《何となくわかる》感じなんですが、 自分で具体例を作ってみると《くっきりとわかる》感じになります」

僕「《例示は理解の試金石》は本当に強力だよね」

ミルカ「では君は、直積の別の例を挙げる」

僕「そうだなあ……そうか、さっきの例がそのまま使えるよ。 $X = \REAL$ で $Y = \REAL$ とする。そうすると、 $X$ と $Y$ の直積 $X \times Y$ は、座標平面と見なせるね。 $(x,y)$ で $x$ が任意の実数、 $y$ が任意の実数ということだから」

ミルカ「だから、座標平面全体のことを $\REAL \times \REAL$ と表したり、 さらに $\REAL^2$ と表したりすることもある。自然といえば自然な表記法」

テトラ「なるほどです」

ミルカ「直積はこんなふうに書くこともできる」

僕「$X$ の要素 $x$ と $Y$ の要素 $y$ が作る、順序対 $(x,y)$ 全体の集合……か」

ミルカ「テトラの具体例をよく見ると、 テトラが気にしていた《積》という用語との関連も見えてくる」

テトラ「え？」

ミルカ「テトラの例をこんなふうに表記すればわかりやすい」

テトラ「……なるほど！　わかりました。 要素数が積になりますね。あたしの作った例ですと、 集合 $X = \SETL 1, 2, 3 \SETR$ の要素数は $3$ で、集合 $Y = \SETL 123, 456 \SETR$ の要素数は $2$ で、 直積 $X \times Y$ の要素数は $6$ です。そして、 $3 \times 2 = 6$ です！」

僕「集合 $A$ の要素数を $\ABS{A}$ で表すことにすると、 $$ \ABS{X} \times \ABS{Y} = \ABS{X \times Y} $$ となるよね。直積で $\times$ を使う気持ちがわかる」

ミルカ「それがいえるのは、 $X$ と $Y$ が有限集合の場合であることに注意」

僕「確かに」

ミルカ「さて、私たちは関数を作りたい。関数の定義は？」

僕「これだね」

ミルカ「ここには《定義域 $X$》と《終域 $Y$》という二つの集合が出てくる。 さっき $y = f(x)$ で順序対 $(x,y)$ を作ったのを思い出すと……」

テトラ「なるほどです！　定義域を集合 $X$ として、 終域を集合 $Y$ として、その直積 $X \times Y$ を作るわけですね。 そうすればすべての順序対の集合を作ったことになりますから！」

僕「……」

ミルカ「……」