第205回 シーズン21 エピソード5

関数の作り方（前編）

図書室にて

僕「そういえば、いつだったかユーリにこんなクイズを出したよ。 言葉遣いは少し違うけど（第202回参照）」

テトラ「いつも思うんですけれど、ユーリちゃんってすごいですよね。 どんな問題でも立ち向かっていくんですから」

僕「そうだね。『めんどいめんどい！』って言ってばかりいるけど、 けっこうよく考えるよね。このクイズは、確かユーリのほうから言ってきたんだよ。 この表のような規則は、数式で書けるのかって」

テトラ「そうなんですね……ところでこのクイズは、 こういう意味ですよね。 $x = 0$ のときは $123$ になり、 $x = 1$ のときは $58$ になり、 $x = 2$ のときは $3028$ になり、 $x = 3$ のときは $7$ になるような関数 $f$ を見つけ出しなさいっ……！」

僕「そういうこと。だから、こんなふうに書いてもいい」

$$ \begin{align*} f(0) &= 123 \\ f(1) &= 58 \\ f(2) &= 3028 \\ f(3) &= 7 \\ \end{align*} $$

テトラ「はい、わかります。でも、 こういう問題はどういうパターンで解いたらいいんでしょうか。 想像も付きませんが……」

僕「パターン？」

テトラ「パターンといいますか、解法といいますか、 問題を解くコツのようなものです」

僕「この問題ならではの『パターンにあてはめる』 という発想とは違うけど、考え方はいろいろあるよね。 僕たちがよく使うのは、もっとずっと一般的なパターンだけど」

テトラ「といいますと？」

僕「《ポリアの問いかけ》にあったかどうか忘れたけど、 たとえば《小さな数で考えよう》なんていうのは考える糸口になるよね」

テトラ「なるほど！　 $f(0),f(1),f(2),f(3)$ という $4$ 個の数が与えられたんじゃなくて、 $$ f(0) = 123 $$ という $1$ 個の数だけが与えられたとするのですね」

僕「ああ、うん、たとえばね」

テトラ「だとしたら、 $$ f(x) = 123 $$ だけでいいですね。どんな実数 $x$ に対しても $123$ という数になる関数」

僕「なるほど！　それは定数関数ってことか」

テトラ「次に、 $2$ 個の数が与えられたとします。つまり、 $$ f(0) = 123, \quad f(1) = 58 $$ ですから、二つの式の両方を満たすということで、 $x = 0$ のときは $123$ になって、 $x = 1$ のときは $58$ にする……わかりました。こうですね」

$$ f(x) = -65x + 123 $$

僕「えっ！」

テトラ「えっ！　あっ！　検算しますしますっ！…… $$ \begin{align*} f(0) &= -65 \cdot 0 + 123 = 123 \\ f(1) &= -65 \cdot 1 + 123 = 123 - 65 = 58 \\ \end{align*} $$ ……合ってます！」

僕「いや、検算してなくてびっくりしたわけじゃなくて、 いきなり $f(x) = -65x + 123$ が出てきたことに驚いたんだよ」

テトラ「えっと、グラフで考えました。 $(0,123)$ と $(1,58)$ という二点を通る直線を想像すると、 $y$ 切片が $123$ で、右下がりですよね。どのくらい下がるかというと、 $123$ から $58$ まで下がるんですから、 $123-58=65$ で、 $65$ 下がります。 ですから直線の傾きは $-65$ です」

僕「ああ、なるほど。確かにそうだね」

テトラ「まちがった解き方でした？」

僕「いやいや、ぜんぜんそんなことないよ。 《グラフで考える》のもいいことだし、 $(0,123)$ と $(1,58)$ の二点を通るって考えたのもすごい。 僕はもともと、違うルートで考えていたから、 テトラちゃんの発想法にびっくりしただけだよ」

テトラ「先輩はどんなふうに考えたんですか？」

僕「僕だったら、こんな順番で関数 $f$ を考えるかな。 まず《$x = 0$ のとき $x - 0 = 0$ になる》し、 《$x = 1$ のとき $x - 1 = 0$ になる》と思った」

テトラ「それはそうですね」

僕「それから、《$x = 0$ または $x = 1$ のとき、 $(x - 0)(x - 1) = 0$ になる》」

テトラ「はい……」

僕「さらに、 《$x = 0$ または $x = 1$ または $x = 2$ のとき、 $(x - 0)(x - 1)(x - 2) = 0$ になる》」

テトラ「はあ……」

僕「$(x - 0)(x - 1)(x - 2)$ は、 $x = 0,1,2$ のどれでも $0$ になる。 でも、 $x = 3$ にしたときは、 $$ (x - 0)(x - 1)(x - 2) = (3 - 0)(3 - 1)(3 - 2) = 6 $$ になる。ということは、 $$ \frac{(x - 0)(x - 1)(x - 2)}{6} $$ という式は……

• $x = 0$ のとき、 $0$ になる。
• $x = 1$ のとき、 $0$ になる。
• $x = 2$ のとき、 $0$ になる。
• $x = 3$ のとき、 $1$ になる。

……わけだね」

テトラ「ははあ、わかってきました。 先輩は、 $x = 3$ のときだけ $1$ になって、 それ以外のときは $0$ になる関数を作ったんですね？」

僕「そういうこと。 そうすれば、 $x = 3$ のとき $7$ になる関数も作れるよね」

テトラ「はい、そうですね。 $7$ 倍すればいいんですから、 $$ 7\times\frac{(x - 0)(x - 1)(x - 2)}{6} $$ という関数は、 $x = 0,1,2$ のときは $0$ になるけれど、 $x = 3$ のときは $7$ になる関数ということですね？」

僕「その通り！　この関数には $f_3(x)$ という名前を付けておこう。 さっきは分母の $6$ を計算しちゃったけど、 計算しないほうがいいかな」

$$ f_3(x) = 7\times\frac{(x - 0)(x - 1)(x - 2)}{(3 - 0)(3 - 1)(3 - 2)} $$

テトラ「$f_3$ という名前にするんですか？　それは、どうしてでしょう」

僕「$f_0,f_1,f_2$ を同じようにして作りたいから」

$$ \begin{array}{rcrcl} f_0(x) &=& 123 &\times&\dfrac{ (x - 1)(x - 2)(x - 3)}{ (0 - 1)(0 - 2)(0 - 3)} \\[8pt] f_1(x) &=& 58 &\times&\dfrac{(x - 0) (x - 2)(x - 3)}{(1 - 0) (1 - 2)(1 - 3)} \\[8pt] f_2(x) &=& 3028 &\times&\dfrac{(x - 0)(x - 1) (x - 3)}{(2 - 0)(2 - 1) (2 - 3)} \\[8pt] f_3(x) &=& 7 &\times&\dfrac{(x - 0)(x - 1)(x - 2) }{(3 - 0)(3 - 1)(3 - 2) } \\[8pt] \end{array} $$

テトラ「……なるほど！　規則的に作れるんですね」

僕「そうだね。 $k = 0,1,2,3$ とすると、関数 $f_k(x)$ というのは、 $x = k$ のときだけ $f(k)$ の値に等しくなり、 $x \neq k$ のときは $0$ という値になる関数」

$$ f_k(x) = \begin{cases} f(k) && (x = k) \\ 0 && (x \neq k) \\ \end{cases} $$

テトラ「……」

僕「あとはこれをぜんぶ足し合わせればいいよね」

$$ f(x) = f_0(x) + f_1(x) + f_2(x) + f_3(x) $$

テトラ「……」

僕「これで方針はできたから、あとは実際に計算してやればいいことになる」

テトラ「先輩……あたしは、わかりません」

僕「難しかった？　そんなことないよね」