第189回 シーズン19 エピソード9

九章算術の研究、もっと

双倉図書館にて

テトラ「算木でルートの計算をするということですね？」

ユーリ「クイズパネルになってる！」

テトラ「これは、手強そうですね……」

ユーリ「なんでこれで、 $\SQRT{55225}$ が計算できんの？」

僕「それを考えるクイズみたいだよ」

ユーリ「そーなんだけどさー」

テトラ「順番に根気よく読んでいけばきっとわかるはずですよね？」

ユーリ「これは、何やってるかわかる！」

テトラ「これからルートを取る数、 $55225$ を算木で並べているわけですね」

僕「そうだろうね。最初に《与えられているものは何か》を明確にしている、と。 ヒントにある $S = 55225$ を使うなら、これから求めるのは $\SQRT{S}$ ということになるね」

ユーリ「いっちばん上の位に、 $1$ という印を置きましたー……ってことだね、これ。 ほらほら、乗算のときも上の位から計算したもんね。 ルート取るときも、上の位から調べるんでしょ？」

僕「なるほど。ユーリのいう通りだろうね」

テトラ「あ、あのう……確かに、 算木では上の位から計算をしていましたけれど（第188回参照）、 ここのヒントは《万の位》とわざわざ書いてますよね」

ユーリ「だって、 $55225$ って、いっちばん上の位は《万の位》だよ、テトラさん」

僕「ともかく、先を見てみよう」

僕「ようやく計算らしいことが始まったよ。 ここでは、いま注目している $5$ を使って、 $$ 5 \GEQ a^2 $$ を満たす数として $a = 2$ を得たと書いてある。つまり、 $$ 5 \GEQ 2^2 = 4 $$ だから、平方して $5$ 以下になる正整数として $2$ を見つけたわけだ。 これは、要するに $\SQRT{5}$ を推測で求めていることになるんだね」

テトラ「そうですね」

ユーリ「ダウト！　 $\SQRT{5} = 2.2360679\cdots$ じゃなかったっけ？　《富士山麓オーム鳴く》だし、 $2$ でいーの？」

僕「ああ、もちろん、小数以下は切り捨てたわけだよ。だから、正確には、 $$ \FLOOR{\SQRT{5}} = a \qquad \REMTEXT{$\SQRT{5}$以下の最大整数} $$ となる数として、 $a = 2$ を求めたということだと思うんだけど」

ユーリ「じゃ、このヒントは不正確だね！　 『$a = 2$ は、 $5 \GEQ a^2$ を満たす数として得た』じゃなくて、 『$a = 2$ は、 $5 \GEQ a^2$ を満たす最大整数として得た』にしなくちゃ」

僕「確かにそうなるな」

テトラ「ところで、この $a = 2$ という数は、 結局 $55225$ とどういう関係になるんでしょうか」

僕「そうか……うん、それは簡単だよ。 《万の位》に注目して $\SQRT{5}$ を考えるというのは、 結局、 $\SQRT{50000}$ を考えているのと同じこと。 $\SQRT{5}$ の小数以下を切り捨てると $a = 2$ になるというのは、 $$ S \GEQ (100a)^2 $$ という $a$ を求めたことになるね」

ユーリ「$S$ って何だっけ」

僕「数値を具体的に書くと、 $55225$ だよ」

テトラ「ははあ……ということは、 $100a = 200$ ですから、 $$ \SQRT{55225} \GEQ 200 $$ という $200$ を見つけたという意味ですね！」

僕「そうなるね。まだ $\SQRT{55225} = 235$ まではたどり着いていなくて、 $200$ というところまで判明したわけだ。 まだ概算ではあるけれど、《百の位》までの詳しさでは正確にわかった、と」

テトラ「はっ！　発見しました！」

僕「何を見つけたの、テトラちゃん？」

テトラ「あのですね。 算木での乗算は上の位から計算したじゃないですか（第188回参照）。 あのときも、最初は概算で、次第に正確になっていきましたねっ！」

僕「なるほど！　確かにそういえるね。算木では $360\times49 = 17836$ を求めるのに、 $$ \begin{align*} \underline{3}00 \times 49 &= 14700 \\ \underline{36}0 \times 49 &= 17640 \\ \underline{364} \times 49 &= 17836 \\ \end{align*} $$ という順になっていったから」

テトラ「そうです、そうです。上の位から計算するので、早い段階から概算が得られています。 でも、筆算では、概算が出てくるのは計算がだいぶ進んでからになりますね」

ユーリ「ねーねー、次を見よーよ」

僕「これがよくわからないんだよな」

テトラ「二行目に書いていた $55225$ を $15225$ に書き換えちゃっていますよね。 $5$ が $1$ に変わりました」

ユーリ「$5 - a^2 = 5 - 2^2 = 1$ だから、 $1$ だよ？」

僕「それはわかってるんだけど、その意味がピンと来ないんだ。 $$ R_1 = 5 - a^2 $$ だね」

テトラ「$10000$ 倍して考えますと、 $$ 10000R_1 = 50000 - (100a)^2 $$ ということですね」

僕「そうか。そうだね」

ユーリ「これの意味って何になるの？」

テトラ「$50000$ というのは、 $55225$ を《万の位》までで考えた数ですよね？　 それから、 $(100a)^2 = 40000$ に出てきた $100a$ というのは、 $\SQRT{50000}$ を《百の位》までで考えた数です。 ということは、 $50000 - (100a)^2$ というのは……なんて言うんでしょうか、ズレの部分ですよね」

ユーリ「ズレ？」

僕「うんうん、誤差かな。 テトラちゃんはいま一万倍して説明してくれたけど、 $5 - a^2$ というのは、 $\SQRT{5}$ を $2$ で近似したときの誤差のようなものだね」

ユーリ「うーん……よくわかんにゃい。 あっ、あっちに説明図のパネルがあるよ！　きっとヒントだよ！　見に行こーよ」

僕「えー……見てしまうつもり？」

テトラ「もう少し考えてからにしましょうよ、ユーリちゃん」

ユーリ「総攻撃くらったし」

僕「だからね。まず、僕たちが求めようとしているのは、 $\SQRT{55225}$ なんだけど、それを一気に求めるんじゃなくて、どうやら上の位から求めようとしているらしい。 《百の位》は大小関係で $a = 2$ だとわかった。 $\SQRT{55225}$ は $2XX$ という形らしい。でも、まだ、正確じゃない」

ユーリ「まだ正確じゃないから、ズレを考えるってこと？　そっか、ズレの部分も同じように繰り返して調べればいーんだ」

テトラ「あたしもそう思いました。ですから $55225$ を $15225$ にしたのもわかります。 これって、 $5.5225$ から $4.0000$ を引いて $1.5225$ にしたようなものなんですよ」

僕「それはいいんだけど、問題は、同じように繰り返すというのはどういうことか、だと思う」

リサ「正確な繰り返しはアルゴリズムの基本」

ユーリ「あー、驚いた」

テトラ「$2$ が $4$ になりました。 $4$ は、 $a$ に $a$ を加えて得た？」

ユーリ「$2 + 2 = 4$」

僕「$a + a = 2a$」

テトラ「$2$ 乗を計算するのに、 $2$ 倍がどう関係するんでしょう」

僕「これだけじゃ、まだわからないなあ。《$2$ 倍の謎》とメモしておくか」

ユーリ「どんどん行こーよ」