第175回 シーズン18 エピソード5

どう見つけたのかは問わないで（前編）

図書室にて

テトラ「ユーリちゃんの気持ち、よくわかりますっ！」

僕「というと？」

テトラ「《すべて》や《任意の》が省略されているのは困るというお話ですよね。 《実数を $2$ 乗したら $0$ 以上になるか？》と聞かれたとき、 正確には《任意の実数を $2$ 乗したら……》と聞かれているわけですから」

僕「そうだね。ユーリからも言われたよ。『省略するなー！』って。 でも、話しているときにいちいち《任意の》を付けていると長くなってしまって、 何をいってるかわかりにくくなることもあるから……もちろん、 証明するときにはそこはきちんと理解しておかないとまずいけど」

テトラ「そういえば、あたしも《すべて》で迷ったことがありました。 いつでしたか、 $2$ 次方程式を学んだときのことです。 問題集にこんな問いがありました」

僕「これは、満たすよね。 $x^2-3x+2$ の $x$ に $1$ を代入すれば、 値は $0$ になるから。 $1^2-3\cdot 1+2=1-3+2=0$ で」

テトラ「はい。それはよかったんですが、 その後、こんな問題が……」

僕「なるほど？」

テトラ「$x=1$ だ！　とあたしは思いました。 だって直前に $x=1$ はこの方程式を満たすことを確かめましたから。 でも解答を見ると、 $x=1,2$ と書いてあったんです」

僕「そうだね。 $x=1$ も $x=2$ もこの方程式を満たす数だから」

テトラ「でも、それって、何だか引っ掛けられたような気がしました。 《方程式 $x^2-3x+2=0$ の解をすべて求めよ》 だったら気付いたんですけれど」

僕「うんうん、テトラちゃんの考えはもっともだと思うよ。 『方程式 $x^2-3x+2=0$ の解を求めよ』 って問題はまちがいとは言いにくいけど、不親切だよね。 もっとちゃんというなら、 『$x$ に関する $2$ 次方程式 $x^2-3x+2=0$ の解をすべて求めよ』 とする方がいいと思うなあ」

テトラ「はい……」

僕「別の問い方で『$x$ に関する $2$ 次方程式 $x^2-3x+2=0$ を解け』というのもあるよね。 これも《すべて》という言葉は出てきていないけど、《解をすべて求めよ》の意味になる」

テトラ「はい。もっとも……あたしは、 答えが一つだけ見つかったときに《他にはないかな？》と考えないのはまずかったと思いました。 《すべて》を問われているかどうかを意識するのは大事ですよね」

僕「そういえば、さっきテトラちゃんが言ってた『解は $x=1,2$』というのも、省略した言い方だよ」

テトラ「といいますと？」

僕「$x=1,2$ のコンマ（$,$）って何だろうという話。 これは『$x=1$ または $x=2$』という意味で使っていると思うんだけど」

テトラ「ああ、確かにそうですね。《または》の意味に……ええ？　《または》 なんですか？　だって、この方程式の解は $x=1$ と $x=2$ の両方ですよね。 両方だったら《かつ》ではないんでしょうか」

僕「ええと……ああ、いやいや、《または》でいいよ。 $x=1$ と $x=2$ の両方が解なんだけど、その《両方》の意味は、 $x=1$ でもいいし、 $x=2$ でもいいってことだよね。 だって、 $x$ に $1$ を代入しても方程式を満たすし、 $x$ に $2$ を代入しても方程式を満たすんだから」

テトラ「ははあ」

僕「《かつ》にしてしまうと変なことになるよ。 だって、 $x=1$ と $x=2$ を同時に満たす $x$ は存在しないから」

テトラ「ああ、確かにそうですね。納得です。 《または》なんですね……なかなか難しいです」

僕「うん。だったら《論理》の世界から《集合》の世界に移ると、 もっとわかりやすくなると思うよ」

集合の世界へ

テトラ「集合の……世界ですか」

僕「うん、そうだよ。 話を簡単にするために《実数全体の集合》の範囲で考えることにするね」

テトラ「はい」

僕「それで、さっきの方程式を実数 $x$ に関する述語だと考えるんだよ。 述語は条件ともいうけど」

$$\begin{array}{rlrl}{x}^2-3x+2& =0& & x\mathbf{\text{に関する}}2\mathbf{\text{次方程式}}\\ x^2-3x+2& =0& & x\mathbf{\text{に関する述語（条件といってもいい）}}\end{array}$$

テトラ「はい……」

僕「それで、この述語に $P(x)$ と名前を付ける」

テトラ「$P(x)$」

僕「ここで、 $P(x)$ の $x$ に実数を何か代入すると、 $P(x)$ は真になったり偽になったりするわけだよね？　たとえば、 $P(1)$ は真になる」

テトラ「それはそうですね。 $P(1)$ は $x^2-3x+2=0$ の $x$ に $1$ を 代入したわけですから。 真になります……それから、 $P(2)$ も真になります。 方程式を解いたのと同じですね？」

僕「《解いた》というよりも、 $x=1$ や $x=2$ が《解であることを確かめた》 という方が正しいかな。 $x=1$ や $x=2$ というのが与えられて、 $P(x)$ の真偽を確かめたわけだから」

テトラ「ははあ」

僕「それで……たとえば円周率 $\pi$ を $x$ に代入したら、 $P(x)$ は偽になる。つまり $P(\pi )$ は偽」

テトラ「はい、わかります……あの、これは何をやっていらっしゃるんでしょうか」

僕「話が回りくどくなっちゃったね。 $x$ に関する述語 $P(x)$ を考えたとき、 《$P(x)$ を真にする実数全体の集合》というものを考えることができる、 っていいたかったんだ」

テトラ「$P(x)$ を真にする実数……全体の集合」

僕「具体的に書くと、こういう集合」

テトラ「……」

僕「$1$ と $2$ だけを要素にする集合だね。 こんなふうに、《与えられた述語を真にする要素全体の集合》のことを、 その述語の真理集合（しんりしゅうごう）っていうんだよ」

テトラ「ということは、 $\{1,2\}$ は、 $P(x)$ の《真理集合》ということですか？」

僕「その通り。その確認はさすがテトラちゃんだね」

テトラ「は、はい。恐縮です……でも、 これってSo what?（だから、なに？）ですよね。ち、違いますか？」

僕「そうだね。方程式の解を集合で表しただけの話だから。 でも、これで集合の世界に移ったから、さっきの話の確認ができるよ」

テトラ「さっきの話……とは？　すみません」

僕「ほら、方程式 $x^2-3x+2=0$ の解は $x=1\vee x=2$ である という話。こんなふうに二つの式を並べてみれば《論理の世界》と《集合の世界》 に対応関係があることがよくわかるよね」

テトラ「ははあ……わかってきました！　 $x=1\vee x=2$ は論理の世界の言葉で、 $\{1\}\cup \{2\}$ は集合の言葉ということですね！」

僕「そう！　それでその両方がきれいに対応しているんだ。

• $x=1$ という述語は $\{1\}$ という集合に、
• $x=2$ という述語は $\{2\}$ という集合に、
• $\vee$ という論理演算は $\cup$ という集合演算に、

テトラ「うわわっ……なんだかいろんなものが繋がりますっ！」

僕「だよね」

テトラ「ちょ、ちょっとすみません。いまさらですけれど、 $\cup$ というのは和集合……でいいんですよね？」

僕「うん、そうだよ。二つの集合の要素をすべて集めて作った集合になるね」

テトラ「はい、わかりました」

同値変形

僕「$2$ 次方程式を因数分解で解くときには、 こんな論理の流れを使って解いていることになるよ。 最初の条件を、 同値な別の条件にどんどん変形していくんだね」

テトラ「同値な条件に……する」

僕「何か引っかかる？　同値変形ってよくやるよね？」

テトラ「いえ、はい、よくわかります。 あのですね。引っかかっていたわけではなく、 同値変形というのをしっかりとは意識してなかったな、 と思っていたんです。たとえば、 $$x-1=0$$ という式を $$x=1$$ のようにするのはよくやります。 $1$ を左辺から右辺に移項していますよね。 それは計算として無意識にやっていますけど、 《条件を同値変形させている》とは意識してなくて……」

僕「ああ、そこか。 そうだね。計算としてささっとやるから、 確かに意識しないことは多いかも。 でも $x-1=0$ という条件が成り立てば、 $x=1$ は成り立つし、 逆に $x=1$ が成り立つなら $x-1=0$ が成り立つわけだから、同値な条件を作っているんだね」

テトラ「そうですね」

僕「そこが気になるなら、 $(x-1)(x-2)=0$ から $x-1=0\vee x-2=0$ という 同値変形も意識するとおもしろいよ。 《$2$ 個の実数の積が $0$ に等しかったら、 少なくともどちらか一方は $0$ に等しい》というのを論理的に式で書いていることになるから」

テトラ「そうですね……因数分解して方程式を解くというのは、 当たり前のように計算してますけど、 論理的に考えると、条件を同値変形していることになるんですね」

集合の言葉で

僕「さっき、条件 $P(x)$ を真にする要素の集合として、 《真理集合》という話をしたけど、それって、こんなふうに書くことができるよ」

テトラ「これは？」