第172回 シーズン18 エピソード2

裏の裏は表（後編）

僕の部屋

真理値表

僕「命題は真か偽か判断できる。真の命題と偽の命題という $2$ 通りがある。 でも、命題が多くなってくると、真と偽の組み合わせはどんどん増える。 それを整理するために真理値表（しんりちひょう）というものがある」

ユーリ「しんりちひょう」

僕「命題 $P$ は真か偽の $2$ 通りのどちらか。そのそれぞれに対して、 命題 $Q$ は真か偽の $2$ 通りのどちらか。だから組み合わせは全部で何通り？」

ユーリ「$4$ 通り」

僕「そうだね。 $2\times 2=4$ 通りある。 それをこんなふうにまとめたものが真理値表」

ユーリ「ふんふん。これ、見たことある」

僕「まあ、よく書くからね」

ユーリ「……これって、命題 $P$ が真で、命題 $Q$ が真のときに限って、 $P\mathbf{\text{かつ}}Q$が真になるっていってるんでしょ？」

僕「そうだよ」

ユーリ「これって《計算》してるみたい」

僕「そうだね！　その通り。その考えで合ってるよ。真と偽という $2$ つの値を使って、 《かつ》という計算をしていると考えることができる。 《真かつ真》のときだけ計算結果が真になるという計算だね」

ユーリ「んー、だったら、真理値表って、こー書いてもいいね！」

僕「いいねえ！」

ユーリ「ね！　九九の表みたい！　……あ、思い出した。ほら、リサ姉（ねー）のこと」

僕「リサちゃん？」

ユーリ「あのね、双倉図書館でリサ姉からお話聞いたとき、同じ計算が出てきた！」

僕「いつのことだろう……」

ユーリ「お兄ちゃんはいなかったよ。インフルインフル。双倉図書館（ならびくらとしょかん）の 《変幻ピクセル》イベント（第103回参照）」

僕「ああ、あのとき？」

ユーリ「そんときは、《ビット単位の論理積》てゆーのがあった。 《かつ》と同じだよ」

僕「確かにそうだね。 $0$ を偽に置き換えて、 $1$ を真に置き換えて、 $\mathrm{\&}$ を《かつ》に置き換えればぴったり同じだね。 書くのがたいへんだから、偽を《$F$》と書いて、真を《$T$》と書いて、《かつ》を《$\wedge$》にするよ」

ユーリ「同じ計算だ」

僕「そうだね。文字の置き換え、記号の置き換えをするだけで、 完全に入れ替わるってことは、同じ計算といえるよね」

ユーリ「『もしかして』」

僕「『わたしたち』」

ユーリ「『いれかわってる〜？』」

僕「時事ネタ自重！」

ユーリ「お兄ちゃんのノリツッコミ初めて見た」

僕「まじめに行こう」

ユーリ「あのね、 《変幻ピクセル》イベントで、 リサ姉が機械見せてくれたの（第103回参照）。 紙をスキャンして、 色が黒いところが $1$ になって、白いところが $0$ になるとき、 黒と黒が重なるときだけ黒をプリントする……みたいなの。 それが論理積」

僕「なるほどね。それは計算結果を図形の色に対応させてるんだ」

ユーリ「そんな感じ」

または

ユーリ「否定と、《かつ》と、それから《または》でしょ？」

僕「そうだね。命題を扱う命題論理だと、その $3$ つは大事だね。 《または》の真理値表はわかる？」

ユーリ「お兄ちゃんから聞いたことある。 少なくとも片方が真のときだけ、全体が真になるんでしょ？」

僕「そうだね」

ユーリ「ビット単位の論理和ってゆーのもあったよ！」

僕「それに合わせて、 $F$ と $T$ で書いてみようか。《または》は $\vee$ にして」

ユーリ「こっちも、《$|$》と《$\vee$》は同じ計算なんだね！」

僕「そうだね。同じ計算をやってるように見えるね」

ユーリ「あれ？　もしかして……」

僕「もう時事ネタはいいよ」

ユーリ「違うの！　そーじゃなくて、思いついたの！」

僕「何を？」

ユーリ「同じなの！　《かつ》と《または》って同じ計算じゃん！」

僕「？」

ユーリ「置き換えちゃう。 $F$ と $T$ を置き換えて、 $\wedge$ と $\vee$ を置き換えるの！」

僕「書いてみようよ」

ユーリ「ね？　ね？　でしょでしょ？　 $F$ と $T$ を交換して、 $\wedge$ と $\vee$ を交換しても、真理値表は正しいじゃん？」

僕「まったくその通り！　すごいな！」

ユーリ「ねー、これって大発見？」

僕「そうだね！　ユーリのこの発見は、 《ド・モルガンの法則》の言い換えになっているよ」

ユーリ「なにそれ」

僕「ド・モルガンの法則っていうのは、 論理の法則の一つだよ。 真偽を交換することと、論理和と論理積を交換することの関係を表してる」

ユーリ「へー」

僕「ド・モルガンの法則はいろんな書き方ができるけど、 たとえばこんなふうに書ける。 $\mathrm{\neg }P$ というのは $P$ の否定のこと」

ユーリ「へ？」

僕「何が『へ？』なの？　ユーリが発見したことと同じになってるよ」

ユーリ「お兄ちゃん得意の数式が出てきたけど、 これってユーリが言ったことと同じなの？」

僕「同じだよ。ユーリは $F$ と $T$ を交換して、 $\wedge$ と $\vee$ を交換しても、 正しい真理値表ができるっていってたわけだろう？」

ユーリ「まーね」

僕「$F$ と $T$ を交換するということは、真偽を交換するわけだから、 否定 $\mathrm{\neg }$ を使えばいいよね。 $P$ があったら $\mathrm{\neg }P$ にして、 $Q$ があったら $\mathrm{\neg }Q$ にする。 最後に全体の式もまとめて否定 $\mathrm{\neg }$ する」

ユーリ「そっか……」

僕「そういうつもりでもう一度式を読んでごらんよ」

ユーリ「じー」

僕「ね？」

ユーリ「なーるほど！　わかった。ほんとだ。 左辺の $P$ を $\mathrm{\neg }P$ で置き換えて、 $Q$ を $\mathrm{\neg }Q$ で置き換えて、 $\wedge$ を $\vee$ で置き換えて、全体に $\mathrm{\neg }$ 付けたのが右辺になってる」

僕「そうそう。それで正しく式を読んでいるよ。 左辺 $P\wedge Q$ の真理値表と、 右辺 $\mathrm{\neg }((\mathrm{\neg }P)\vee (\mathrm{\neg }Q))$ の真理値表を比べてみれば、 そうすると、この $2$ つの真理値表が一致することがわかるよ」

ユーリ「……両方とも、 $FFFT$ ？」

僕「そうだね。ということは、 $P,Q$ の真偽に関わらず、 この $2$ つの式の真偽は一致するといえる。 $P\wedge Q$ が $T$ のとき、 $\mathrm{\neg }((\mathrm{\neg }P)\vee (\mathrm{\neg }Q))$ も $T$ になるし、 片方が $F$ なら、他方も $F$」

ユーリ「……」

僕「ド・モルガンの法則はもう一つあるよ。 もう一度 $\wedge$ と $\vee$ を置き換えたものだね。 まとめて書いておこうか」