第166回 シーズン17 エピソード6

水面に映る星の影（後編）

図書室にて

テトラ「あ、これ、 $2$ 次方程式になってます！　ここ、同じですから！」

$$ \underline{(z + \BAR{z})}^2 + \underline{(z + \BAR{z})} - 1 = 0 $$

僕「そうだね。できた、できた！　これで解けるよ。 $y = z + \BAR{z}$ と置いてみよう」

$$ \begin{align*} (z + \BAR{z})^2 + (z + \BAR{z}) - 1 &= 0 \\ y^2 + y - 1 &= 0 && \REMTEXT{$y = z + \BAR{z}$と置いた} \\ \end{align*} $$

テトラ「$y$ の $2$ 次方程式ですね。解くと…… $$ y = \dfrac{-1 \pm \sqrt{5}}{2} $$ になります！　先輩、 $\sqrt{5}$ が出てきましたようっ！」

僕「出てきたね！　あれ……プラスマイナス？」

テトラ「プラスマイナスでいいんですよね？　 $y^2 + y - 1 = 0$ は、 $2$ 次方程式の解の公式を使うと、 $2$ 個の解が出てきて…… $$ \dfrac{-1 + \sqrt{5}}{2} \qquad\REMTEXT{と}\qquad \dfrac{-1 - \sqrt{5}}{2} $$ ……になりますから」

僕「うん、もちろんそれは正しいんだけど、 なぜ $2$ 個になったのかな、と思ったんだよ。 だって、もともと解こうと思ったのは $4$ 次方程式だから $4$ 個の解……あ、違うね、勘違い勘違い。 僕たちが解いたのは $y$ についてだった。 $z + \BAR{z}$ を $y$ と置いたんだから、まだ話は続く」

テトラ「ここまででわかったことは、 $$ z + \BAR{z} = \dfrac{-1 \pm \sqrt{5}}{2} $$ でいいんですよね？」

僕「……」

テトラ「ち、違いました？」

僕「……いやいや、大丈夫。テトラちゃんの理解は正しいよ。 いま僕が考えていたのは、この $2$ 個の解はなんだろうってこと。 つまりこの正 $5$ 角形のどこに出てくるんだろうってね」

テトラ「はあ……」

僕「うん、こうかな。 $z$ は正 $5$ 角形の一つの点……を表す複素数だよね。 そして $\BAR{z}$ はその複素共役になる。 つまり、 $z$ と $\BAR{z}$ は水面に……」

テトラ「あ、はい。《水面に映る星の影》です。 $z$ が星で、 $\BAR{z}$ がその影」

僕「たとえば、正 $5$ 角形の $5$ 個の複素数にこんなふうに名前を付けるとする。 $\zeta_0$（ゼータ $0$）から $\zeta_4$（ゼータ $4$）まで。 そうすると、 $\zeta_1$ の複素共役は $\zeta_4$ にあたるわけだよね」

テトラ「$\zeta_1$ の真下、対称の位置に $\zeta_4$ がありますからそうですね」

僕「うん。そうすると、 $\BAR{\zeta_1} = \zeta_4$ になっている。 $\zeta_1 + \BAR{\zeta_1}$ は $\zeta_1 + \zeta_4$ で、 この和は実数になる。それがさっきの方程式 $y^2 + y - 1 = 0$ の解の一つになるんだ」

テトラ「どうして……共役複素数の和が実数になるっていえるんでしたでしょうか」

僕「だって $a+bi$ と $a-bi$ を加えたら、ちょうど虚部の $bi$ と $-bi$ が打ち消し合うからね」

テトラ「あっ、あたりまえでした。すみません。 ……ということはですよ。さっきの解のうち、 $$ \dfrac{-1 + \sqrt{5}}{2} \qquad\REMTEXT{と}\qquad \dfrac{-1 - \sqrt{5}}{2} $$ のどちらかが、 $\zeta_1 + \BAR{\zeta_1}$ つまり $\zeta_1 + \zeta_4$ になっているということですか」

僕「そうだね。そして、別の方が、 $\zeta_2 + \BAR{\zeta_2}$ つまり $\zeta_2 + \zeta_3$ になってることになる。 そうかそうか。正 $5$ 角形で $1$ を除く頂点は $4$ 個。 その $4$ 個の点は $4$ 個の複素数になっている。 そして、それらは複素共役な $2$ 組のペアになっている。 その $2$ 組のペアと、 $y^2 + y - 1 = 0$ の $2$ 解が対応していたんだ！」

テトラ「共役複素数は、《仲良しペア》ですね！」

僕「ああ、すっきりした。 でも、気がつけばあたりまえだね。だってもともとの $4$ 次方程式の次数を下げたときに使ったのは、 $z + \BAR{z}$ で、あきらかに $2$ 組のペアをまとめて考えようとしていたわけだから」

テトラ「ちょ、ちょっとお待ちください。 部分部分は理解したと思うんですが、大きな流れがわからなくなってしまいました。 整理しますっ！」

• あたしたちは、複素平面上に正 $5$ 角形を描こうと思っています。
• 一つの頂点が $1$ にあって、単位円に内接する正 $5$ 角形を考えています（ちょっと傾いてます）。
• 三角関数を使えば残りの頂点はすぐにわかるのですが、それだけではつまらないので、ルートを使って表したいと思いました（おもにテトラがそう思ってます）。
• 単位円の円周上にありますので、 $5$ 個の複素数の絶対値はすべて $1$ に等しくなります。
• なので、 $z^5 = 1$ という方程式の $5$ 個の解が頂点になります。
• ええと、それから……

僕「$z - 1$ で因数分解、だね」

テトラ「そうでした、そうでした」

• $z^5 = 1$ という方程式は、 $z^5 - 1 = 0$ と書くことができます。
• $1$ が頂点になっていますので、 $z = 1$ は解のひとつです。
• なので、 $z^5 - 1$ を $z - 1$ で因数分解することができるはずです。
• $(z - 1)(z^4 + z^3 + z^2 + z + 1) = 0$ となりました。
• $4$ 個の頂点は $z^4 + z^3 + z^2 + z + 1 = 0$ の $4$ 個の解です。
• そして、ええと……

僕「$z$ と複素共役な $\BAR{z}$ との積を使って……」

テトラ「$z\BAR{z} = 1$ ですね！」

• $z\BAR{z} = 1$ が成り立ちます（複素共役である《仲良しペア》は、いっしょにすると良いことがあるんですね）。
• これを使って $z^4 + z^3 + z^2 + z + 1 = 0$ は、 $(z + \BAR{z})^2 + (z + \BAR{z}) - 1 = 0$ と変形できます。
• そしてこれを解いて……

テトラ「これを解いて、 $$ z + \BAR{z} = \dfrac{-1 \pm \sqrt{5}}{2} $$ が得られたところ、ですね」

僕「うん、複素共役なペアが $2$ 組あって、 $z + \BAR{z}$ の値が $2$ 個ある。 じゃ、どっちがどっちだろうか？」

テトラ「可能性は $2$ 通りありますね……」

僕「これはすぐにわかるよ」

テトラ「そうなんですか？」

僕「うん。だって、よく見てみれば、 $$ \dfrac{-1 - \sqrt{5}}{2} < 0 $$ であることがわかるよね。分子が負だから」

テトラ「あっと、そうですね。ということは、 和が負になるペアということで、こうなります」

$$ \zeta_2 + \zeta_3 = \dfrac{-1 - \sqrt{5}}{2} $$

僕「そうだね。そして、 $$ \dfrac{-1 + \sqrt{5}}{2} > 0 $$ であることもわかる」

テトラ「はいはい、わかります。 $\sqrt{5}$ は《富士山麓オーム鳴く》で $2.2360679\cdots$ ですから $1$ より大きいです。 なので、 $-1 + \sqrt{5} > 0$ ということですね」

僕「うん、そう。ということで、 $$ \zeta_1 + \zeta_4 = \dfrac{-1 + \sqrt{5}}{2} $$ だとわかった」

テトラ「何だかおもしろいですね。図形を考えていたら、方程式の話になって、 方程式を考えていたら、複素数の話になって、 複素数を考えていたら、ルートの計算で数の大小の話になって……」

僕「え、でも、そういうのは普通じゃない？　だって、方程式を解くときに、数の計算をしたり、式の変形をしたり、 グラフを描いたり、何でもするものだから」

テトラ「そうなんですが……そうですよね。 どんな武器でも使っていいんですよね」

僕「何でも使えるところが、 数学のおもしろいところなんだし」

テトラ「ですねっ！」

僕「さっきの $\zeta_1 + \zeta_4$ と $\zeta_2 + \zeta_3$ は両方ともベクトルの和として考えることもできるね。こんなふうに」

テトラ「ベクトルまで……」

僕「ここまでで、 $$ \zeta_1 + \zeta_4 = \dfrac{-1 + \sqrt{5}}{2} $$ がわかった。 $\BAR{\zeta_1} = \zeta_4$ だから、 $$ \zeta_1 + \BAR{\zeta_1} = \dfrac{-1 + \sqrt{5}}{2} $$ と書いてもいい。ここから $\zeta_1$ を求めることになる。さて？」