第157回　3を作って0にする（前編） - Web連載「数学ガールの秘密ノート」（結城浩）

書籍『数学ガールの秘密ノート／数を作ろう』

この記事は『数学ガールの秘密ノート／数を作ろう』として書籍化されています。

登場人物紹介

僕：数学が好きな高校生。

ユーリ：僕のいとこの中学生。僕のことを《お兄ちゃん》と呼ぶ。論理的な話は好きだが飽きっぽい。

$ \newcommand{\REMTEXT}[1]{\textbf{#1}} \newcommand{\LOOKSLIKE}{\quad\longleftrightarrow\quad} \newcommand{\TR}[1]{\langle#1\rangle} \newcommand{\XR}[1]{\bar{#1}} \newcommand{\MARK}[1]{\fbox{#1}} $

僕の部屋

いつものように従妹のユーリがやってきた。僕の部屋に入ってくるなり、こんなことを言い出す。

ユーリ「いやー、こないだの話はおもしろかったよね」

僕「こないだの話って？」

ユーリ「ほらほら《三角形の整数》って作ったじゃん（第154回参照）。《ぐるぐるワン》の時計で足し算引き算」

僕「ああ、あの話か。そうだね。何だか小さな数の世界を作っているみたいで、確かに楽しいね」

$\TR0$ は《$3$ で割って余りが $0$》の整数全体の集合
$\TR1$ は《$3$ で割って余りが $1$》の整数全体の集合
$\TR2$ は《$3$ で割って余りが $2$》の整数全体の集合

《三角形の整数》

ユーリ「パターンも $9$ 通りしかないからめんどくさくないし」

《三角形の整数》の足し算

$$ \begin{align*} \TR0 + \TR0 &= \TR0 \\ \TR0 + \TR1 &= \TR1 \\ \TR0 + \TR2 &= \TR2 \\ \TR1 + \TR0 &= \TR1 \\ \TR1 + \TR1 &= \TR2 \\ \TR1 + \TR2 &= \TR0 \\ \TR2 + \TR0 &= \TR2 \\ \TR2 + \TR1 &= \TR0 \\ \TR2 + \TR2 &= \TR1 \\ \end{align*} $$

僕「そうだね。足し算の表もすぐできる」

ユーリ「足し算の表？」

僕「うん、《三角形の整数》っていうのは、要するに整数を $3$ で割った余りだけを考えるわけだから、出てくる数は $\TR0,\TR1,\TR2$ の $3$ 個しかない。だからこんな表が作れる」

《三角形の整数》の足し算の表

ユーリ「そーだけど、それって、式を並べたのと同じことじゃん？」

僕「同じだけど、この足し算の表を見ていると、アイディアが湧いてこない？」

ユーリ「アイディア……別に」

僕「掛け算の表も作りたくならない？　計算自体はすぐできるよね」

《三角形の整数》の掛け算（書きかけ）

$$ \begin{align*} \TR0 \times \TR0 &= \TR0 \\ \TR0 \times \TR1 &= \TR0 \\ \TR0 \times \TR2 &= \TR0 \\ \TR1 \times \TR0 &= \TR0 \\ \TR1 \times \TR1 &= \TR1 \\ \TR1 \times \TR2 &= \cdots \\ \TR2 \times \TR0 &= \\ \TR2 \times \TR1 &= \\ \TR2 \times \TR2 &= \\ \end{align*} $$

ユーリ「ちょっ、ちょっと待ってよー。そんなにさっさか進まないでよ。掛け算の結果を $3$ で割ればいーんでしょ？」

僕「そうだね。 $3$ で割った余りを考える。次の $\TR2 \times \TR0$ は……」

ユーリ「だから待ってって！　えーと、 $\TR2 \times \TR0$ っていうのは、 $2 \times 0$ を計算して、その結果の $0$ を $3$ で割った余り……って $0$ だね」

$$ \TR2 \times \TR0 = \TR0 $$

僕「うん、それでいいよ」

ユーリ「それから、 $\TR2 \times \TR1$ は……まず、 $2 \times 1 = 2$ を計算して、 $2$ を $3$ で割った余り……これは $2$ になる。最後の $\TR2 \times \TR2$ は、 $2\times 2 = 4$ だから、 $3$ で割った余りは $1$ になって、これで全部」

$$ \begin{align*} \TR2 \times \TR1 &= \TR2 && \REMTEXT{$2\times1$を$3$で割った余りは$2$} \\ \TR2 \times \TR2 &= \TR1 && \REMTEXT{$2\times2$を$3$で割った余りは$1$} \\ \end{align*} $$

僕「これで、 $9$ パターンができた」

《三角形の整数》の掛け算

$$ \begin{align*} \TR0 \times \TR0 &= \TR0 \\ \TR0 \times \TR1 &= \TR0 \\ \TR0 \times \TR2 &= \TR0 \\ \TR1 \times \TR0 &= \TR0 \\ \TR1 \times \TR1 &= \TR1 \\ \TR1 \times \TR2 &= \TR2 \\ \TR2 \times \TR0 &= \TR0 \\ \TR2 \times \TR1 &= \TR2 \\ \TR2 \times \TR2 &= \TR1 \\ \end{align*} $$

ユーリ「そんで、これを表にする？」

《三角形の整数》の掛け算の表

僕「そうだね。これが《三角形の整数》の世界での九九になるわけだ」

ユーリ「暗記が楽でいいにゃ……ところでお兄ちゃん。ほんとにこれでいーの？」

僕「いいよ。いまユーリが計算したじゃないか」

ユーリ「でも《三角形の整数》はたくさんの数の集合でできてた」

《三角形の整数》

僕「いまさらの話だけど、それがどうしたの？」

ユーリ「ユーリが計算したのは、このうち $0,1,2$ って数だけじゃん？　それで試しただけで、いーの？」

《三角形の整数》の掛け算でユーリが試したもの

僕「うん、いいんだよ。ユーリが気にしているのは、たとえば、 $\TR2 \times \TR1$ の結果を調べるのに、 $2 \times 1$ だけで考えていいのか、ってことだよね。足し算のときも試したけれど（第154回参照）、それでうまくいくんだ。というか、うまくいくように《三角形の整数》を作ったわけだけど」

$$ \begin{array}{ccccccccccccc} \underbrace{2}_{\in\TR2} &\times& \underbrace{1}_{\in\TR1} &=& \underbrace{3\times0 + 2}_{\in\TR2} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ \TR2 &\times& \TR1 &=& \TR2 \\ \end{array} $$

ユーリ「へー」

僕「たとえば、別の数で試してもいいよ。 $2 \times 1$ じゃなくて、 $\TR2$ から $5$ を選んで、 $\TR1$ から $4$ を選んでみようか。そうすると、 $5 \times 4 = 20$ で、 $3$ で割った余りはやっぱり $2$ になる」

$$ \begin{array}{ccccccccccccc} \underbrace{5}_{\in\TR2} &\times& \underbrace{4}_{\in\TR1} &=& \underbrace{3\times6 + 2}_{\in\TR2} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ \TR2 &\times& \TR1 &=& \TR2 \\ \end{array} $$

ユーリ「おー。確かに、 $20$ は $\TR2$ の要素になってる……うまく行くもんだねー」

《三角形の整数》の掛け算でいま使ったもの