第155回 シーズン16 エピソード5

36分の18を作ろう（前編）

図書室にて

僕「そんな話をユーリとしていたんだよ（第154回参照）」

テトラ「おもしろいですねえ……空集合からいろんな数を作っていく。 何もないところから数を少しずつ作り出していく。 そんなことができるんですね」

僕「そうだね。《ノイマンの方法》もおもしろいけど、順序対（じゅんじょつい）を使って整数を作るのもおもしろかった」

テトラ「はい。以前、先輩方といっしょに考えたこともありましたね（『数学ガール／ゲーデルの不完全性定理』参照）」

僕「うんうん」

テトラ「そうです。確かあのときは、 整数だけではなく、分数も作りましたね。整数を作るのと同じような形で、 順序対を使って作ったような記憶があります」

僕「そうだったね。あ、でもテトラちゃん。 『分数を作った』というよりも『有理数を作った』という方が正確だよ」

テトラ「は、はい……でも、あたしの記憶では、 $(a,b)$ という順序対を使って $\dfrac{a}{b}$ という分数を表していたように思うのですが」

僕「うん、それをまちがいといってるわけじゃないよ。 でも、分数というのは数の表記であって、数そのものじゃないよね。 そうだなあ、たとえば、 $$ \dfrac{\pi}{\sqrt{2}} $$ というのは分数だけど、有理数じゃないよね」

テトラ「確かに！　先輩のおっしゃる通りです。 順序対 $(a,b)$ を使って表したのは、分数というよりも有理数ですね。 そうですそうです。このときの $a,b$ はどちらも整数でした。 $\pi$ や $\sqrt{2}$ のような数は使いませんでした」

僕「もうちょっと条件があるよね。 $(a,b)$ で、 $a$ と $b$ はどちらも整数なんだけど……」

テトラ「はいはい。わかっております。 $b$ は $0$ 以外という条件ですね。 でないと分数の形でゼロ割になってしまいますから」

僕「うん、だから、僕たちは《有理数を作る》ために、 こんな順序対を使うことになる」

テトラ「はい。ところで先輩。 《順序対》はどうして順序対という名前なんでしょうか。 《対》（つい）はわかります。 $a$ と $b$ の二つのペア、つまり対になっていますから。 でも《順序》とは？」

僕「え？　それは、順序対だと $(a,b)$ と $(b,a)$ を区別して考えるからじゃないの？　 つまり、 $a$ と $b$ の順序を考える対……という意味だと思っていたけど」

テトラ「あっと、なるほどです。それはそうですよね」

僕「集合の場合には $\{ a, b \}$ と $\{ b, a \}$ という二つは等しい。つまり、要素の順序の違いは区別しないわけだね。 でも、順序対の場合には、 $(a,b)$ と $(b,a)$ という二つの順序対は等しいとは限らない。 $a \neq b$ の場合には $(a,b) \neq (b,a)$ になるということ」

テトラ「……ちょっとお待ちください。 いま先輩は、集合の場合、要素の順序は区別しないとおっしゃいましたよね」

僕「そうだよ。 $\{ 1, 2 \}$ と $\{ 2, 1 \}$ は等しい集合になるから」

テトラ「だとしたら、《順序対を集合で作る》のは不可能じゃないんでしょうか？　要素の順序を区別しないんですから」

僕「おっと！　ええと、それは……」

テトラ「だって、 $\{ a, b \}$ と $\{ b, a \}$ を区別しないというのなら、 順序を気にするものを集合で作るなんてできません……困りました」

僕「いやいや、待ってよテトラちゃん。 その疑問はすばらしいんだけど、誤解がある。 順序対 $(a,b)$ を作るのに、 $a$ と $b$ は集合の要素である必要はないよ。 いや、集合の要素なんだけど」

テトラ「……？」

僕「いま思い出すから待って。《ノイマンの方法》を本で読んだときに、 順序対を集合で作る話も読んだんだ。なるほど！　と感動した覚えがある……確か、 こんなふうに作るんじゃなかったかなあ」

テトラ「なるほど……二つの要素のうち、片方の $b$ だけを一つ集合で《包んでしまう》ということでしょうか。 確かにそれなら、 $a$ と $b$ の二つを区別できます……か？」

僕「うーん……いや、これじゃだめだなあ。 なぜなら、集合 $X$ が $\bigl\{ 1, \{1\}, 2, \{2\} \bigr\}$ のようなとき、 順序対として $(\{1\},2)$ と $(\{2\},1)$ が区別つかなくなるから。 だって、

• $(\{1\},2)$ は $\bigl\{\{1\},\{2\}\bigr\}$ になる。
• $(\{2\},1)$ は $\bigl\{\{2\},\{1\}\bigr\}$ になる。

で、集合として、この二つは区別つかない！　 だから、正しくはこうかな」

テトラ「……」

僕「うん、これでいけそう。 $$ P = \bigl\{ \, \{a\}, \, \{ a, b \} \, \bigr\} $$ が順序対 $(a,b)$ と見なせるのはどうしてかというと……ええと、まず、

　　《第一成分が $a$ である》かどうか

は、

　　《集合 $P$ に属するすべての集合について、 $a$ がその要素になっている》かどうか

でわかる。 この例でいうと、 $\{a\}$ と $\{a,b\}$ の両方に属している要素が第一成分だということだね。つまり $a$ だ」

テトラ「は、はあ……」

僕「第二成分についても同じように……あれ？　難しいな。いや、わかった。

　　《第二成分が $b$ である》かどうか

は、

　　《集合 $P$ に属する集合 $A,B$ について、 $A \neq B$ ならば、 $b \not\in A$ または $b \not\in B$ である》かどうか

でわかる」

テトラ「の、後ほどじっくり考えてみます……」

有理数

僕「で、有理数」

テトラ「はい……順序対 $(a,b)$ で有理数を作るというのは、 結局、 $\dfrac{a}{b}$ の値が等しい順序対 $(a,b)$ 全体の集合を作るということですよね。 たとえば、 $\dfrac{1}{2}$ を作りたいときは、 $$ \ldots,(-3,-6),(-2,-4),(-1,-2),(1,2),(2,4),(3,6),\ldots $$ という順序対をすべて集めて集合にする？」

僕「そうそう。有理数を《整数の割り算》で計算するということを知っている僕たちにとっては、 《$\dfrac{a}{b}$ の値が $\dfrac{1}{2}$ に等しくなるような、 $(a,b)$ 全体の集合を作る》 というのでいいんだけど、《整数の割り算》を定義する前に有理数を作るには、 整数の掛け算を使って同値関係を作る必要があるから、 $$ 1\times b = 2 \times a $$ になるような $(a,b)$ を集めた集合を作るというほうがいいかな」

テトラ「あ……そのあたり、あまりきちんと覚えていないです……」

僕「つまりね《整数 $a$》と《$0$ 以外の整数 $b$》を使って作れる《順序対 $(a,b)$》全体の集合を、 分類して、有理数としての値が等しいものを同一視して、同じ値を持つ順序対を集合にまとめたい。 つまり、こんな感じの集合を作りたいんだよ。 $\dfrac23, 0, \dfrac12$ の三つだけ具体的に書いてみるね」

$$ \begin{array}{rcl} & \vdots & \\ \dfrac23 & \longleftrightarrow & \bigl\{ \ldots,(-4,-6),(-2,-3),( 2, 3),(4,6),(6,9),(8,12),\ldots \bigr\} \\ 0 & \longleftrightarrow & \bigl\{ \ldots,( 0,-3),( 0,-2),( 0,-1),(0,1),(0,2),(0,3),\ldots \bigr\} \\ \dfrac12 & \longleftrightarrow & \bigl\{ \ldots,(-3,-6),(-2,-4),(-1,-2),(1,2),(2,4),(3,6),\ldots \bigr\} \\ & \vdots & \\ \end{array} $$

テトラ「はい……」

僕「そうすれば、整数の順序対の集合で有理数が作れる……でも《整数の割り算で有理数を求める》という計算を定義する前だから、 割り算を使うのは避けたい。だから、割り算ではなく掛け算を使う。 順序対 $(a,b)$ と $(c,d)$ を同一視するのに、 $$ a \div b = c \div d $$ という式を使うんじゃなくて、 $$ a\times d = b\times c $$ という式を使うということ。 もちろん結果としては同じ話なんだけどね。 さっきの $\dfrac{1}{2}$ の例でいえば、 $$ \bigl\{ \ldots,(-3,-6),(-2,-4),(-1,-2),(1,2),(2,4),(3,6),\ldots \bigr\} $$ の中から、二つの順序対 $(a,b),(c,d)$ を選ぶと、 どれでも $a\times d = b\times c$ が成り立っているはずだよ」