第148回 シーズン15 エピソード8

波を見つける（後編）

図書室にて

テトラ「うかつでした……」

僕「大丈夫。テトラちゃん、まだ名誉挽回できる！」

テトラ「え？」

僕「あのね、僕は村木先生がなぜこの問題を出したか、気になってたんだ。 でも、わかったよ。 ほら、いつもと違って問題形式になっているよね。ここにトリックがありそう。 つまり、この問題を解いて、それだけで終わりにするかが、試されているんだよ」

テトラ「す、すみません。意味がよくわからないのですが」

僕「この計算は $\sin mx\sin nx$ の定積分だったよね（第147回参照）」

テトラ「はい、そうです。場合分けが出てきました」

僕「僕たちの手元には $\sin$ と $\cos$ があるよね。ということは……他の問題も作れるよ！」

テトラ「他の問題！」

僕「うん。 $\cos mx\cos nx$ や、 $\sin mx\cos nx$ を、問題1と同じように $0$ から $2\pi$ までの範囲で定積分してみたら、 いったいどうなるだろう」

テトラ「なるほどです。きっと、場合分けが出てくるんじゃないでしょうか！　あたし、今度は間違えません！」

テトラ「先輩！　できました。検算もしました。 やはり、予想通りに《場合分け》が出てきましたよ！」

僕「あ、ミルカさん。それはもしかして……」

ミルカ「もしかしなくても、《カード》だよ」

僕「ははーん。わかったぞ。 ねえ、ミルカさん。その《カード》に何が書かれているか、 当ててみようか？」

テトラ「あ！　あたしもわかりましたよ！　複数の《カード》による波状攻撃ですねっ！」

ミルカ「何の話？」

僕「いや、村木先生の問題を一つ解いたところで、 他のバリエーションができそうだと話していたところなんだ。 ミルカさんがもらった《カード》は、村木先生にしてはめずらしく、 明示的に《問題》の形になっているんじゃない？」

テトラ「そして、その《問題》は定積分ではないでしょうかっ！」

ミルカ「いや、ちがうな。問題の形にはなっていないし、 定積分にもなっていない。あいかわらずの思わせぶりな数式だけだ」

テトラ「あれ、あれれ？」

僕「どんな数式？」

テトラ「これは……いったい何でしょう」

僕「何だろう。確かに問題の形じゃないし、定積分でもないね。 テトラちゃんがいま解いた定積分の、別パターンが書かれてると思ったんだけど」

テトラ「あ、あたしもそう思いました。 ミルカさんが解く前に答えを出すことができたかもっ！……と思ったんでしたが」

ミルカ「さっきから言ってる《定積分》とは？」

テトラ「これです！　これが、村木先生からの定積分の問題を解いたものです」

ミルカ「なるほど、そういうことか」

僕「そういうこと？」

テトラ「あたしは条件を見落として、この問題そのものは解けなかったのですけれど、 これと似て非なる他の問題を作って、そして、解いていたんです。 こういう問題になります」

ミルカ「ふむ」

テトラ「村木先生の問題1は $\sin mx \sin nx$ の積分でした。 なので、 $\cos mx \cos nx$ と $\sin mx \cos nx$ の積分を計算しようと思いました。 $\cos mx \sin nx$ は $m$ と $n$ を入れ換えるだけなので、計算し直す必要はありません」

ミルカ「むろん。では、これを……」

テトラ「ですです。 $\sin mx \sin nx$ は最後の最後で先輩に助けていただきましたが、 $\cos mx \cos nx$ と $\sin mx \cos nx$ はあたし一人で解くことができました！　まず、 $\cos mx \cos nx$ から行きます」

　＊　＊　＊

積分をしたいのですから、 $\cos mx \cos nx$ という《積》を《和》の形に持っていこうと考えます。 そのために、三角関数の積和公式を使います。

$$ \cos mx \cos nx = \dfrac12 \left\{ \cos (m+n)x + \cos (m-n)x \right\} $$

これを使って、求めたい定積分を和の形に直します。

$$ \begin{align*} \int_{0}^{2\pi} \cos mx \cos nx \,dx &= \int_{0}^{2\pi} \dfrac12 \left\{ \cos (m+n)x + \cos (m-n)x \right\} \,dx \\ &= \dfrac12 \int_{0}^{2\pi} \cos (m+n)x + \cos (m-n)x \,dx \\ \end{align*} $$ 　＊　＊　＊

ミルカ「……」

テトラ「そして、 $m = n$ かどうかで《場合分け》を行います。ここが大事ですっ！　まず、 $m \neq n$ の場合は……」

$$ \begin{align*} \int_{0}^{2\pi} \cos mx \cos nx \,dx &= \cdots \\ &= \dfrac12 \int_{0}^{2\pi} \cos (m+n)x + \cos (m-n)x \,dx \\ &= \dfrac12 \left[ \dfrac{\sin(m+n)x}{m+n} + \dfrac{\sin(m-n)x}{m-n} \right]_{0}^{2\pi} \\ &= 0 \\ \end{align*} $$

テトラ「$0$ になるのは、 $\sin(m+n)x$ も、 $\sin(m-n)x$ も、 $x = 0$ と $x = 2\pi$ で $0$ になるからです」

ミルカ「ふむ」

僕「いいねえ」

テトラ「$m = n$ の場合には $\cos (m-n)x = \cos 0 = 1$ になりますので、積分すると $x$ が出てくるんです」

$$ \begin{align*} \int_{0}^{2\pi} \cos mx \cos nx \,dx &= \cdots \\ &= \dfrac12 \int_{0}^{2\pi} \cos (m+n)x + 1 \,dx \\ &= \dfrac12 \left[ \dfrac{\sin(m+n)x}{m+n} + x \right]_{0}^{2\pi} \\ &= \dfrac12 \left[ \quad x \quad \mathstrut \right]_{0}^{2\pi} \\ &= \dfrac12 (2\pi - 0) \\ &= \pi \\ \end{align*} $$

僕「同じだ」

テトラ「そうですね。 $\sin mx \sin nx$ のときと同じになります」

ミルカ「なるほど」

テトラ「同じようにして、今度は $\sin mx \cos nx$ の定積分ですっ！」

　＊　＊　＊

今度も先ほどと同じです。 $\sin mx \cos nx$ という《積》を《和》の形に持っていきます。 またまた、三角関数の積和公式を使います。

$$ \sin mx \cos nx = \dfrac12 \left\{ \sin (m+n)x + \sin (m-n)x \right\} $$

これを使って、求めたい定積分を和の形に直します。 ここでも $m-n$ が出てきますので、まずは $m \neq n$ の場合は……

$$ \begin{align*} \int_{0}^{2\pi} \sin mx \cos nx \,dx &= \int_{0}^{2\pi} \dfrac12 \left\{ \sin (m+n)x + \sin (m-n)x \right\} \,dx \\ &= \dfrac12 \int_{0}^{2\pi} \sin (m+n)x + \sin (m-n)x \,dx \\ &= \dfrac12 \left[ \dfrac{-\cos(m+n)x}{m+n} + \dfrac{-\cos(m-n)x}{m-n} \right]_{0}^{2\pi} \\ &= -\dfrac12 \left[ \dfrac{\cos(m+n)x}{m+n} + \dfrac{\cos(m-n)x}{m-n} \right]_{0}^{2\pi} \\ &= -\dfrac12 \left\{\underbrace{\dfrac{1}{m+n} + \dfrac{1}{m-n}}_{\REMTEXT{$x = 2\pi$}} - \underbrace{\left( \dfrac{1}{m+n} + \dfrac{1}{m-n} \right)}_{\REMTEXT{$x = 0$}} \right\} \\ &= 0 \\ \end{align*} $$ 　＊　＊　＊

テトラ「このように、やはり $0$ になります。そして $m = n$ の場合ですが、 今度は $\sin (m-n)x = \sin 0x = \sin 0 = 0$ ということで、先ほどのような $1$ が出てきません。なので……」

$$ \begin{align*} \int_{0}^{2\pi} \sin mx \cos nx \,dx &= \dfrac12 \int_{0}^{2\pi} \sin (m+n)x + \sin (m-n)x \,dx \\ &= \dfrac12 \int_{0}^{2\pi} \sin (m+n)x + 0 \,dx \\ &= \dfrac12 \int_{0}^{2\pi} \sin (m+n)x \,dx \\ &= \dfrac12 \left[ \dfrac{-\cos(m+n)x}{m+n} \right]_{0}^{2\pi} \\ &= \dfrac12 \left( \underbrace{\dfrac{-1}{m+n}}_{\REMTEXT{$x = 2\pi$}} - \underbrace{\dfrac{-1}{m+n}}_{\REMTEXT{$x = 0$}} \right) \\ &= 0 \\ \end{align*} $$

僕「へえ」

ミルカ「ふむ」

テトラ「……なので、 $\sin mx \cos nx$ の場合は、 $m$ と $n$ がどうであれ、定積分は $0$ になります！　これで答えが出ましたっ！」