第116回 シーズン12 エピソード6

イチをイチと呼ぶために（後編）

僕の部屋

僕「$aa^{-1} = 1$ になる $a^{-1}$ のことを《$a$ の逆数》っていうよね。 それと同じように、 $AA^{-1} = I$ になる $A^{-1}$ のことを《$A$ の逆行列》っていうんだ」

ユーリ「ぎゃくぎょうれつ……逆数みたいな行列」

僕「ちゃんといえば、 $AX = I$ になるような $X$ のことだね。このときの $X$ を《$A$ の逆行列》というんだよ。 そして、 $A^{-1}$ と書く」

ユーリ「ふんふん」

僕「$a$ の逆数が $a \neq 0$ のときだけ存在するのと同じように、 $A$ の逆行列は、 $ad - bc \neq 0$ のときだけ存在することになるね」

ユーリ「ねー、でも、そもそも $ad - bc$ って何？」

僕「うん、これは行列式（ぎょうれつしき）だよ」

ユーリ「？」

僕「何か変な感じ？」

ユーリ「『何をいまさら』とゆー感じ。だって、ずっと行列の式を書いてきたじゃん」

僕「ああ、行列式は、行列が出てくる数式のことじゃない。 $ad - bc$ という式のことを行列式っていうんだよ。 $ad - bc$ は、《行列 $\left(\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right)$ の行列式》という名前なんだ」

ユーリ「ふーん……」

僕「$a,b,c,d$ が実数のとき $ad - bc$ は実数だから、 行列式は行列じゃなくて、ただの実数だよ」

ユーリ「それはわかる」

僕「だから、行列式という言葉を使うなら、 《$A = \left(\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right)$ の逆行列 $A^{-1}$ は、 $A$ の行列式 $ad - bc$ が $0$ に等しくないときだけ存在する》といえるね」

ユーリ「……えーと」

僕「納得いかない？　だって、ほら、 $A$ の逆行列 $A^{-1}$ はこうだろ？」

$$ A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \left(\begin{array}{cc} d & -b \\ -c & a \end{array} \right) $$

ユーリ「……」

僕「だから、 $ad - bc = 0$ だったら、逆行列は存在できない。ゼロ割りになるし」

ユーリ「なんか変だよ……あのね『$ad - bc = 0$ だったら、 $\dfrac{1}{ad - bc}$ はゼロ割りになる』はわかる」

僕「それで？」

ユーリ「だから、『$ad - bc = 0$ だったら、 $\dfrac{1}{ad - bc} \left(\begin{array}{cc} d & -b \\ -c & a \end{array} \right)$ という行列が存在しない』もわかる」

僕「うん」

ユーリ「それから、『$ad - bc \neq 0$ だったら、 $\dfrac{1}{ad - bc} \left(\begin{array}{cc} d & -b \\ -c & a \end{array} \right)$ が $A$ の逆行列』というのもわかる。 計算したから（第113回参照）」

僕「じゃあ、何がわからないの？」

ユーリ「えーとねー。『$ad - bc = 0$ だったら、 $A$ の逆行列が存在しない』かどーかがわかんない」

僕「なるほど！　その通りだね。ユーリは賢いなあ。 確かに、ユーリのいう通りだ。 僕たちは $\left(\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right)\left(\begin{array}{cc} w & x \\ y & z \end{array} \right) = \left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)$ が成り立つような $\left(\begin{array}{cc} w & x \\ y & z \end{array} \right)$ ……つまり逆行列……を計算で求めようとしていた（第115回参照）。 そして、 $ad - bc \neq 0$ のとき、 $$ \left(\begin{array}{cc} w & x \\ y & z \end{array} \right) = \frac{1}{ad - bc} \left(\begin{array}{cc} d & -b \\ -c & a \end{array} \right) $$ という行列が求める逆行列だとわかった」

ユーリ「うんうん」

僕「でも、 $ad - bc = 0$ のときに逆行列が存在しないことは証明していないね。 $\dfrac{1}{ad - bc} \left(\begin{array}{cc} d & -b \\ -c & a \end{array} \right)$ は使えないけれど、 他の形をした行列が $A$ の逆行列になるかもしれない……」

ユーリ「そー！　そーなの！　そこが引っかかってたの！」

僕「ユーリのその《引っかかり》はどうやったら解消するだろう」

ユーリ「《ユーリの問題》を解く……」

ユーリ「これは、どーすんのかな……たぶんだけど、 $ad - bc = 0$ を使うわけだよね」

僕「そうだね。 $ad - bc = 0$ は重要な条件だ」

ユーリ「$\left(\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right)$ で $ad - bc = 0$ というと、 $ad = bc$ ということだから、 うーん……つまり、 $ad$ と $bc$ が等しい」

僕「それはそう」

ユーリ「でも、 $ad$ と $bc$ が等しいのが、 逆行列とどう関係あるかわかんない」

僕「たとえば」

ユーリ「ちょっと待って！　別のやりかた考える。 ……えーと、 $\left(\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right)$ と $\left(\begin{array}{cc} w & x \\ y & z \end{array} \right)$ の積はこーだよね？」

$$ \left(\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right)\left(\begin{array}{cc} w & x \\ y & z \end{array} \right) = \left(\begin{array}{cc} aw+by & ax+bz \\ cw+dy & cx+dz \end{array} \right) $$

僕「うん、これは正しい式だよ」

ユーリ「だから、えーと、わかった！　もっかいこーゆー連立方程式を解いてみればいいんだ！」

$$ \left\{\begin{array}{llll} aw + by &= 1 && \cdots \REMTEXT{(1)} \\ ax + bz &= 0 && \cdots \REMTEXT{(2)} \\ cw + dy &= 0 && \cdots \REMTEXT{(3)} \\ cx + dz &= 1 && \cdots \REMTEXT{(4)} \\ ad - bc &= 0 && \cdots \REMTEXT{(5)} \\ \end{array}\right. $$

僕「……」

ユーリ「そんでね、 $ad - bc = 0$ じゃん？　だから、 $ad = bc$ になって……うーん」

僕「いま証明したいのは $ad - bc = 0$ のときに、こういう $w,x,y,z$ が《存在しない》ことをいわなきゃいけないからつらいよね」

ユーリ「うん……連立方程式が《解けない》って言わなきゃいけないんだ……」

僕「ぜんぜん違う方向から考えてみようか」

ユーリ「ぜんぜん違う方向？」

僕「うん。《$A$ の逆行列を求めよう》というのをちょっと忘れて、 《$A$ について詳しく調べよう》と考えてみる。 テトラちゃんだったら『行列 $A$ さんとお友達になる』と言いそうな方法だよ」

ユーリ「詳しく調べる……って？」

僕「たとえば、 $A^2$ がどうなるかを調べる。 $A^2$ というのは、 $AA$ という積のことだよ」

ユーリ「はあ……え、 $AA$ を計算するってこと？」

$$ \begin{align*} A^2 &= AA \\ &= \left(\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right)\left(\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right) \\ &= \left(\begin{array}{cc} aa+bc & ab+bd \\ ca+dc & cb+dd \end{array} \right) \\ &= \left(\begin{array}{cc} a^2+bc & ab+bd \\ ca+cd & bc+d^2 \end{array} \right) \\ \end{align*} $$

ユーリ「へーい、できたよ」

僕「うん、さらに、 $ab + bd = (a+d)b$ と $ca + cd = (a+d)c$ と変形できるから、 つまり、こうなる」

$$ A^2 = \left(\begin{array}{cc} a^2+bc & (a+d)b \\ (a+d)c & bc+d^2 \end{array} \right) \qquad \cdots\REMTEXT{（★）} $$

ユーリ「うん、それで？」

僕「$(a+d)$ が二箇所に出てきてるよね」

ユーリ「うん、右上の $(a+d)b$ と、左下の $(a+d)c$ のとこ？」

僕「そこだけ抜き出すと、こんな行列が見える」

$$ \left(\begin{array}{cc} 0 & (a+d)b \\ (a+d)c & 0 \end{array} \right) = (a+d)\left(\begin{array}{cc} 0 & b \\ c & 0 \end{array} \right) $$

ユーリ「？」

僕「$\left(\begin{array}{cc} 0 & b \\ c & 0 \end{array} \right)$ というのは $\left(\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right)$ に似ている。つまり、 $A$ にとても似ている」

ユーリ「？？」

僕「それを踏まえて、 $A^2 - (a+d)A$ という式を計算してみよう」

$$ \begin{align*} & A^2 - (a+d)A \\ &= \left(\begin{array}{cc} a^2+bc & (a+d)b \\ (a+d)c & bc+d^2 \end{array} \right) - (a+d)A && \REMTEXT{★から} \\ &= \left(\begin{array}{cc} a^2+bc & (a+d)b \\ (a+d)c & bc+d^2 \end{array} \right) - (a+d)\left(\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right) && \REMTEXT{$(a+d)A$の$A$を成分で表す} \\ &= \left(\begin{array}{cc} a^2+bc & (a+d)b \\ (a+d)c & bc+d^2 \end{array} \right) - \left(\begin{array}{cc} (a+d)a & (a+d)b \\ (a+d)c & (a+d)d \end{array} \right) \\ &= \left(\begin{array}{cc} a^2+bc-(a+d)a & 0 \\ 0 & bc+d^2-(a+d)d \end{array} \right) && \REMTEXT{$(a+d)b$と$(a+d)c$は引き算で消える} \\ &= \left(\begin{array}{cc} a^2+bc-a^2-ad & 0 \\ 0 & bc+d^2-ad-d^2 \end{array} \right) && \REMTEXT{展開した} \\ &= \left(\begin{array}{cc} -ad+bc & 0 \\ 0 & -ad+bc \end{array} \right) && \REMTEXT{$a^2$と$d^2$は引き算で消える} \\ &= -(ad-bc)\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) && \REMTEXT{$-ad+bc = -(ad-bc)$だから} \\ &= -(ad-bc)I && \REMTEXT{単位行列$I = \left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)$を使って書いた} \\ \end{align*} $$

ユーリ「はあああっ？」

僕「要するに、この式が成り立つ」

$$ A^2 - (a+d)A = -(ad - bc)I $$

ユーリ「……」

僕「移項してやると、これで《ケイリー・ハミルトンの定理》を証明したことになる」

ユーリ「何この《謎の数式変形》の嵐！」

僕「おもしろいだろ？」

ユーリ「《おもしろいだろ》じゃなくて。華麗な式変形はいーんだけど、 ユーリの問題、解く話はどーなったの？」

僕「$A^2$ を成分で計算して、 $A^2 = (a+d)A - (ad-bc)I$ という式が成り立つことがわかったよね。 ほら、行列式 $ad - bc$ がちゃんと出てきてる」

ユーリ「むー……確かに $ad - bc$ が出てきてるけど、 ぜんぜん《ユーリの問題》が解ける気がしない」

僕「そんなことはないよ。考えてごらん？」

ユーリ「うーん……」