第103回　変幻ピクセル（前編） - Web連載「数学ガールの秘密ノート」（結城浩）

書籍『数学ガールの秘密ノート／ビットとバイナリー』

この記事は『数学ガールの秘密ノート／ビットとバイナリー』として書籍化されています。

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登場人物紹介

僕：数学が好きな高校生。

ユーリ：僕のいとこの中学生。僕のことを《お兄ちゃん》と呼ぶ。

テトラちゃん：僕の後輩。好奇心旺盛な《元気少女》。

ミルカさん：数学が好きな高校生。僕のクラスメート。長い黒髪の《饒舌才媛》。

リサ：自在にプログラミングを行う無口な女子。赤い髪の《コンピュータ少女》。

駅にて

テトラ「おはようございます、ユーリちゃん。……あれ？　先輩は？」

ユーリ「お兄ちゃん、インフルエンザになっちゃった！　だから、双倉図書館（ならびくらとしょかん）の《変幻ピクセル》イベントには行けないって」

テトラ「ええっ！　それじゃ、お見舞いに行かなくては！」

ユーリ「インフルうつるからだめだよー、テトラさん。双倉図書館、二人でいっしょに行こ！」

テトラ「そう……ですね」

ということで、本日の語り部はあたし、テトラということになりました。

えっと、あの、ど、読者のみなさま、よろしくお願いします（ぺこり）。

今日はみんなで電車に乗って、双倉図書館のイベントに参加しようという予定でしたが、先輩がいらっしゃらないようです。ちょっと、残念……かな。

ユーリ「双倉図書館に行くの、すごく久しぶり！」

テトラ「そうですね。今日の《変幻ピクセル》イベントは、コンピュータの中の $2$ 進数の話らしいですよ。いろんな展示物があって、楽しそうです」

ユーリ「テトラさんは、コンピュータのこと詳しーの？　プログラムとか書ける？」

テトラ「いえいえ、詳しくはありません。興味はあるので、少し勉強していますけど。リサちゃんは詳しいですよね」

ユーリ「リサさん、こないだ会ったよ！　あんまりしゃべらないよね」

テトラ「そうですね。今日の《変幻ピクセル》イベントでは、リサさんがナビゲートしてくれるはずですけど……」

双倉図書館にて

あたしたちは双倉図書館に到着すると、リサちゃんと合流して、会場になった部屋を回っていくことにしました。

ユーリ「そーいえば、今日はミルカさまは？　会場のどこか回ってるの？」

リサ「インフルエンザ」

ユーリ「へー、すごい偶然。流行ってるんだねー。うちのお兄ちゃんもだよ」

リサ「……」

テトラ「……」

リサ「順路はこの部屋から」

ユーリ「早く入ろ！」

テトラ「ちょっ、ちょっと待ってください……」

あたしたちが部屋に入ると、機械が二台並んでいました。一台は赤、もう一台は青、どちらも手のひらくらいの大きさです。

リサ「スキャナとプリンタ」

スキャナ(Scanner)とプリンタ(Printer)

ユーリ「紙がはさまってるよ」

テトラ「scannerは紙をscanする機械で、printerは紙にprintする機械ですね。スキャナは読み取りで、プリンタは印刷でしょうか」

リサ「壁に解説パネル」

解説パネル（概要）

赤い機械はスキャナです。紙に書かれた絵を読み込む機械です。
スキャナは、読み込んだ白黒の情報を数に変換してプリンタに送信します。
青い機械はプリンタです。紙に絵を印刷する機械です。
プリンタは、受信した数を白黒の情報に変換して書き込みます。

ユーリ「ふーん」

リサ「全体図」

解説パネル（全体図）

ユーリ「あ、そゆこと？　スキャナで絵を読んで、プリンタが印刷するの？」

テトラ「でも、すごく小さいですよね」

リサ「最小実験キット」

テトラ「？」

リサ「$1$ 行 $16$ ビット」

ユーリ「よくわかんない」

スキャナの仕組み

解説パネル（スキャナ）

スキャナには $16$ 個の受光器が並んでいます。
それぞれの受光器は《白は $0$》《黒は $1$》という $1$ ビットの情報を読み取ります。
一度に $16$ ビットの情報を読み、 $2$ 進法で $1$ 個の数に変換します。
スキャナは $16$ ビット読み取るごとに、その数を送信します。

ユーリ「ふーん……ここに書いてる《$2$ 進法で $1$ 個の数に変換》って？」

テトラ「きっと、こういうことですよ。 $16$ 個の受光器が読み取った $s_{15},s_{14},\ldots,s_{1},s_{0}$ という $16$ ビットがありますよね。あ、 $1$ ビットは $0$ か $1$ かのどちらかなんですけど、その $16$ ビットを使って、こんな計算をするんです」

$$ 2^{15}s_{15} + 2^{14}s_{14} + \cdots + 2^{1}s_{1} + 2^{0}s_{0} $$

ユーリ「あ、わかったわかった。 $2$ 進法だもんね！」

リサ「$(s_{15}s_{14}\cdots s_{1}s_{0})_2$」

テトラ「たとえば、 $(0000 0000 0000 0101)_2 $ならこうなりますね」

$$ ( 0000 0000 0000 0101 )_2 = 2^2+2^0 = 4 + 1 = 5 $$

リサ「確認クイズ」

解説パネル（確認クイズ）

スキャナは $16$ ビットの情報を読み、以下のように $2$ 進法で $1$ 個の数に変換します。

$$ (s_{15}s_{14}\cdots s_{1}s_{0})_2 = 2^{15}s_{15} + 2^{14}s_{14} + \cdots + 2^{1}s_{1} + 2^{0}s_{0} $$

では、この数は何通りあるでしょうか。

ユーリ「$16$ 通り……じゃない！じゃない！　 $(0000 0000 0000 0000)_2$ から $(1111 1111 1111 1111)_2 $までだから……」

テトラ「 $s_{15}$ が $0$ か $1$ かの $2$ 通り、そのそれぞれに対して $s_{14}$ が $0$ か $1$ かの $2$ 通り、そのそれぞれに対して $s_{13}$ が $0$ か $1$ かの $2$ 通り、 ……ずっと続いて最後に、そのそれぞれに対して $s_{0}$ が $0$ か $1$ かの $2$ 通りですね。全部で $2$ の……何乗でしょう」

ユーリ「$2$ の $16$ 乗かにゃ？」

$$ \underbrace{2 \times 2 \times \cdots \times 2}_{\REMTEXT{$16$個の$2$}} = 2^{16} = 65536 $$

リサ「$65536$ 通り」

解説パネル（確認クイズの答え）

スキャナは $16$ ビットの情報を読み、以下のように $2$ 進法で $1$ 個の数に変換します。

$$ (s_{15}s_{14}\cdots_{1}s_{0})_2 = 2^{15}s_{15} + 2^{14}s_{14} + \cdots + 2^{1}s_{1} + 2^{0}s_{0} $$

この数は、 $2^{16} = 65536$ 通りあります。

$$ \begin{array}{rr} 0 & 0000 0000 0000 0000 \\ 1 & 0000 0000 0000 0001 \\ 2 & 0000 0000 0000 0010 \\ 3 & 0000 0000 0000 0011 \\ \vdots& \vdots \\ 65532 & 1111 1111 1111 1100 \\ 65533 & 1111 1111 1111 1101 \\ 65534 & 1111 1111 1111 1110 \\ 65535 & 1111 1111 1111 1111 \\ \end{array} $$

ユーリ「$6$ 万 $5$ 千 $5$ 百 $3$ 十 $6$ 通りもあんの！？」

リサ「それで $1$ 行分」

ユーリ「$1$ 行分って？」

リサ「$16$ 行分繰り返して $1$ 枚の絵を送る」

リサちゃんはそう言って、スキャナ用のプログラムを見せてくれました。