第102回 シーズン11 エピソード2

冒険ビット（後編）

$-2$ 進数

ユーリ「ぐちゃぐちゃじゃん！」

僕「いや、少し考えればわかるよ……こうかな」

ユーリ「あれ……お兄ちゃん！　パターンが見える！　ほらほら、縦読みすれば！」

僕「ほんとだ！　よし、もっと先まで書いてみようか」

母「ミルカさんと、もう一人、お友達がいらしたわよ」

僕「ミルカさん！」

ユーリ「ミルカさま！」

ミルカ「今日はリサを連れてきた」

リサ「……」

ミルカ「君の家に来たがったのはリサなんだが。来たくてしょうがないと」

僕「え？」

リサ「誇張」

ミルカ「今日は何を？」

ユーリ「マイナス $2$ 進数です、ミルカさま」

ミルカ「ふうん……楽しそうだな」

リサ「$-2$ 進数？」

僕「いま、 $-2$ 進数と $10$ 進数の対応表を作ろうとしていたんだ」

リサ「手で？」

僕「『手で？』ってどういう意味？」

ミルカ「リサは、プログラムでできると言いたいんだよ」

僕「ああ、そうか。リサちゃんならコンピュータでできるんだ！」

リサ「《ちゃん》は不要」

僕「リサはプログラム得意だからなあ」

リサ「どこまで？」

ミルカ「切りの良いところまで」

リサ「それなら、 $256$ まで」

ユーリ「ふへー……リサさんってすごいんですね」

リサ「《さん》も不要」

ユーリ「お兄ちゃん、 $-2$ 進数のパターンが見えるよ。縦読み縦読み！」

僕「うん。 $(-2)^0$ の位、つまり $1$ の位は縦読みで $0,1,0,1,0,1\ldots$ というパターン」

ユーリ「$(-2)^1$ の位は、 $1,1,0,0,1,1,0,0,\ldots$ だね！　 $1,1$ と $0,0$ がかわりばんこ」

僕「それから $(-2)^2$ の位、つまり $4$ の位は $1,1,1,1$ と $0,0,0,0$ が交互に来る」

ユーリ「下から四桁目の $(-2)^3$ の位は、 $1$ が $8$ 個と、 $0$ が $8$ 個がかわりばんこ」

僕「$(-2)^4$ の位は、 $1$ が $16$ 個と、 $0$ が $16$ 個……もう一般化できるなあ」

桁の増加

ミルカ「桁の増加にもパターンが見える」

ユーリ「そーそー！　ユーリ気付いてたよ！　桁が増えるときって、 必ず $2$ 桁ずつ増えるの。しかも、増える数字は必ず $11$ で。 そしてしばらく進むと、そこんとこが $10$ に変わる」

$$ \begin{array}{rrl} 0 & 0 & \\ 1 & 1 & \\ 110 & 2 & \REMTEXT{$11$が増えた} \\ 111 & 3 & \\ 100 & 4 & \REMTEXT{$10$に変わった} \\ 101 & 5 & \\ 11010 & 6 & \REMTEXT{$11$が増えた} \\ 11011 & 7 & \\ 11000 & 8 & \\ 11001 & 9 & \\ 11110 & 10 & \\ 11111 & 11 & \\ 11100 & 12 & \\ 11101 & 13 & \\ 10010 & 14 & \REMTEXT{$10$に変わった} \\ 10011 & 15 & \\ 10000 & 16 & \\ 10001 & 17 & \\ 10110 & 18 & \\ 10111 & 19 & \\ 10100 & 20 & \\ 10101 & 21 & \\ \vdots & \vdots & \\ \end{array} $$

僕「縦読みしたときに交互になるという意味では、 $2$ 進数のパターンと少し似ているところもあるけど、 $2$ 進数と $-2$ 進数ではまったく違うなあ」

ミルカ「まったく違うだろうか？」

僕「え？」

ミルカ「たとえば $0$ や $1$ を考えると、 $2$ 進法で表記しても $-2$ 進法で表記しても同じだ」

僕「そりゃそうだけど」

ユーリ「$4$ も！　両方 $100$ になる！」

ミルカ「では問題」

僕「……」

ユーリ「……」

僕「そうか……もしかすると、 $4$ の冪乗？」

リサ「できた」

ミルカ「プログラムで表を作っても、条件を求めたとはいえない」

リサ「なぜ」

ミルカ「たとえば、 『$n = 341$ のとき、 $2$ 進法と $-2$ 進法で表記が同じになるか？』 という問いに答えられないから」

リサ「表を $341$ までに」

ミルカ「ならば $n = 1501199875790165$ のときは？　切りがない」

僕「表を作り直さなくても、 $341$ や、その……すごく大きな数の表記を調べるだけでいいよね」

ミルカ「プログラムで確かめられたとしても、条件を求めるのは別の話」

僕「ところで、条件は見つかったよ。 《$n$ が $4$ の冪乗の和で表されること》が求める条件だ」

ミルカ「正解」

ユーリ「$4$ のべきじょうの……わ？」

僕「$4^0, 4^1, 4^2, 4^3, \ldots$ つまり $4^k$ の形で表される数を 何個か選ぶんだよ。そしてそれらを足し合わせる。 たとえば、 $4^0$ と $4^2$ を選んだとする。 そうすると、 $4^0 + 4^2 = 1 + 16 = 17$ だよね。 リサが作ってくれた表を見ると、確かに $17$ は同じ表記になっている」

リサ「$17$ 確認完了 $10001$」

ユーリ「でも、なんで？　どっから $4$ が出てきたの？」

僕「$4 = (-2)^2$ だよ。ほら、 $-2$ 進数を一般的に書いた式があるよね。 あれでわかった」

ユーリ「へー」

僕「$2$ 進数と $-2$ 進数を一般的に書いてみるとこうなる」

ユーリ「ぜんぜん違うじゃん」

僕「いやいや、 $k$ が偶数のとき、 $(-2)^k$ は、 $2^k$ に等しいよね。 だから、並べて書いてみると……」

ユーリ「そっか！　 $2$ の偶数乗っていうのは、 $4$ の冪乗？」

僕「そうそう。 $4$ の冪乗をいくつか集めて作った和というのは、 《$2^{\REMTEXT{偶数}}$の位》にしか$1$がない数になる。 そしてそういう数は $2$ 進法と $-2$ 進法で等しくなるんだね」

ミルカ「正解」

リサ「条件……」（咳）

ユーリ「$-2$ 進数の表を作るプログラムって、どんなの……どんなものですか、 リサさん？」

リサ「《さん》は不要」