第93回 シーズン10 エピソード3

対象の対称な交換に好感（前編）

図書室

テトラ「先輩！　発見、はっけん！」

僕「どうしたの？　それは村木先生のカードだよね」

テトラ「そうです、そうです。《研究課題》です！」

僕「なるほど」

テトラ「え！　もうわかっちゃったんですか？」

僕「いやいや、何もわかってないよ。今回の村木先生のカードは、 《$f(x)$ という関数について考えなさい》ということなのかなって思っただけ」

テトラ「はい、そうですね」

僕「それで、テトラちゃんの《はっけん》は何なの？」

テトラ「あ、えっと……ちょっと大げさに登場し過ぎました（照れ）。 ほんの、ちょっとしたことなんです。 いつも通り、《例示は理解の試金石》ということで、具体的に $x = 1,2,3$ と代入してみました。 たとえば、 $f(1) = 2$ と計算できますし、 $f(2) = 2^2 + \frac{1}{2^2} = \frac{17}{4}$ となります。 そして、こんな表を作りました」

$$ \begin{array}{c|ccccccccc} x & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline f(x) & \dfrac{82}{9} & \dfrac{17}{4} & 2 & \textrm{?} & 2 & \dfrac{17}{4} & \dfrac{82}{9} \\ \end{array} $$

僕「なるほど。でも、$f(0)$のところが$\textrm{?}$になってるけど、 斜線で消しておくか、最初から $x = 0$ の欄を書かないでおくほうがいいかも」

テトラ「はい、わかりました。 $x = 0$ のとき、 $x^2$ は $0$ なんですが、 $\dfrac{1}{x^2}$ の方はゼロ割りになるので値が計算できなかったんです。 欄を消しておきます」

$$ \begin{array}{c|ccccccccc} x & -3 & -2 & -1 & 1 & 2 & 3 \\ \hline f(x) & \dfrac{82}{9} & \dfrac{17}{4} & 2 & 2 & \dfrac{17}{4} & \dfrac{82}{9} \\ \end{array} $$

僕「分数が出てきたら《分母が $0$ じゃない》という条件が入り込むから気を付けないと」

テトラ「この表を書いて《はっけん》したんです。これ、左右対称だ！　って」

僕「なるほど、そうなるね。 $f(-x) = f(x)$ が成り立つからね」

$$ \begin{align*} f(-x) &= (-x)^2 + \dfrac{1}{(-x)^2} && \REMTEXT{$f(x)$の定義から} \\ &= x^2 + \dfrac{1}{x^2} && \REMTEXT{計算した} \\ &= f(x) && \REMTEXT{$f(x)$の定義から} \\ f(-x) &= f(x) && \REMTEXT{これが示せた} \\ \end{align*} $$

テトラ「そうですそうです」

僕「$f(x)$ の式を見るだけでもこの《対称性》はわかるよ。 だって、ほら、 $f(x) = x^2 + \dfrac{1}{x^2}$ には $x^2$ しか出てこないから」

テトラ「あ、はい。そうですね。 $2$ 乗しているから、マイナスが消えます」

僕「$x^\REMTEXT{偶数}$だけから作られた式は、 どんな実数 $x$ に対しても $f(-x) = f(x)$ がいえる。 どんな実数っていっても、ゼロ割りは防がなきゃいけないけどね」

テトラ「これ……グラフも左右対称になりますね」

僕「そうだね。 座標平面上に《$y = f(x)$ という方程式で表される図形》を描いたら、 左右対称になるね。 この図形の上にある一つの点 $(x, y) = (a, f(a))$ を考えると、 それと線対称の位置にある点 $(-a, f(a))$ もやっぱりこの図形の上にあるから。 $f(-a) = f(a)$ だから点 $(-a, f(-a))$ と点 $(-a, f(a))$ は等しい点ということになる。線対称。対称の軸は $y$ 軸」

僕「村木先生の《研究課題》のカードは、 何でも自由に考えられるからいいなあ。 今回はいわば《この関数 $f(x)$ について自由に考えてみよ。 どんなおもしろいことがわかるか》だよね」

テトラ「このグラフには、これ以外にも対称性ってあるんでしょうか」

僕「$x$ と $-x$ を入れ換えても、 $f(x)$ の値は変わらないってことで線対称は見つかったけど……あとはないんじゃないかな。 回転というわけにもいかないし」

文字の入れ換え

テトラ「ところで先輩。関数というと必ず $f(x)$ って書きますよね」

僕「そうだね。 $f(x)$ と書いたり $g(x)$ と書いたり」

テトラ「あれは関数をfunctionというからですよね？　頭文字のf」

僕「そうそう、 $f(x)$ の $f$ はそうだね。 $g(x)$ の $g$ は、 アルファベットの $f$ の次が $g$ だからだと思うよ」

テトラ「入れ換えで思い出したんですが、このあいだ、文字を入れ換えたら何が起きるだろうかって考えたんですよ」

僕「どういうこと？」

テトラ「あのですね、あたしって文字がたくさん出てくると焦っちゃうんです。 たくさんの文字を一度に考えなくちゃいけないって思って…… それで、それを逆手に取ったらどうなるだろうと思いまして、文字を入れ換えようと」

僕「ねえ、テトラちゃん。意味がよくわからないんだけど」

テトラ「関数に $f$ と名前を付けるんじゃなくて $x$ と名前を付けるんです。 関数 $x$ です！」

僕「え？」

テトラ「そして、変数 $x$ の代わりに $f$ という文字を使います。 文字の入れ換えです。そうしたら、 $f(x)$ じゃなくて、 $x(f)$ と書くことになりますよね！」

僕「うわあ、確かにそうなるけどねえ……。 $y$ 軸の代わりに $g$ 軸にすると、 点の座標は $(f,g)$ になるし、図形の方程式を $g = x(f)$ と書く。 ねえ、テトラちゃん。これはすごく読みにくいし、わかりにくいよ」

テトラ「ですよね！　あたしもそう思います。 わかりにくいの、わかっていただけますか！」

僕「？」

テトラ「そのわかりにくさ、 あたしがいつも数式を見たときに焦る感じと似てるはずです！」

僕「ああ……そういうことか」

テトラ「はい。 たとえば、 $f(x) = x^2 + \dfrac{1}{x^2}$ なんて、 $x(f) = f^2 + \dfrac{1}{f^2}$ ですよ」

僕「ぎょっとするよね」

テトラ「そして……思ったんです。 先輩がよくおっしゃる《数式に慣れる》って大事なことだなって。 あたしは焦ってばかりいるけれど、 数式も、何度も見ていると、少しずつ少しずつ慣れてくるものかもしれないなあ……って」

僕「そうだね。慣れるとこわくないし。 ところで、 $f(x) = x^2 + \dfrac{1}{x^2}$ をもう少し調べてみようよ」

テトラ「そうですね」

僕「授業だと一次関数や二次関数について、いろんなことを調べる」

テトラ「グラフを描いたり表にしたり……」

僕「あれって、結局ぜんぶ《この関数ってどんなもの？》に答えるためなんだよね。 だから、村木先生の《研究課題》と同じことなんだ。テトラちゃんがよくいう、関数と《おともだちになる》ため」

テトラ「そうなんですか……でも、何だか村木先生のカードのほうが楽しいです」

僕「うん、それはわかる。自由に考えていいからだね、きっと。 方針や答えをいきなり教えられるよりも楽しいから」

テトラ「$f(x) = x^2 + \dfrac{1}{x^2}$ で、ほかに発見はあるでしょうか」

もう一つの対称性

僕「テトラちゃん！　僕も《はっけん》したかも」

テトラ「何ですか？」

僕「テトラちゃんの表を見ていて気付いたことが一つある。 こういう基本って大事なんだな……」

$$ \begin{array}{c|ccccccccc} x & -3 & -2 & -1 & 1 & 2 & 3 \\ \hline f(x) & \dfrac{82}{9} & \dfrac{17}{4} & 2 & 2 & \dfrac{17}{4} & \dfrac{82}{9} \\ \end{array} $$

テトラ「先輩。じらさないで教えてくださいよ！」

僕「あのね、 この関数 $f(x) = x^2 + \dfrac{1}{x^2}$ を、 テトラちゃんは $-3$ から $3$ までの $0$ 以外の整数で考えてみたけど、 逆数で考えてみたら気づくことがあるよ。 $0$ は除いて、 $x = -\dfrac{1}{3}, -\dfrac{1}{2}, -1, 1, \dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{3}$ で考えるんだ」

テトラ「なるほどです！　たとえば、 $x = -\dfrac{1}{2}$ なら……」

$$ \begin{align*} f\left(-\dfrac{1}{2}\right) &= \left(-\dfrac{1}{2}\right)^2 + \dfrac{1}{\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2} && \REMTEXT{$f(x)$で$x = -\dfrac{1}{2}$とした} \\ &= \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{\frac{1}{4}} && \REMTEXT{計算した} \\ &= \dfrac{1}{4} + \dfrac{4}{1} && \REMTEXT{分母・分子に$4$を掛けた} \\ & \textrm{「あれれ！」} && \REMTEXT{計算中に驚いた} \\ &= \dfrac{17}{4} && \REMTEXT{気を取り直して計算した} \\ \end{align*} $$

僕「ね？」

$$ \begin{array}{c|ccccccccc} x & -\dfrac{1}{3} & -\dfrac{1}{2} & -1 & 1 & \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{3} \\ \hline f(x) & \dfrac{82}{9} & \dfrac{17}{4} & 2 & 2 & \dfrac{17}{4} & \dfrac{82}{9} \\ \end{array} $$

テトラ「びっくりです！　さっきの表と同じ数の並びになります！」

僕「そうだね。この関数 $f(x) = x^2 + \dfrac{1}{x^2}$ には、 $0$ 以外のどんな実数 $x$ についても、 $f(\frac{1}{x}) = f(x)$ という性質があるんだ！」

テトラ「そうなんですね……」

僕「つまり、 $\tfrac1x$ と $x$ が交換できるってこと。証明も簡単だよ」

$$ \begin{align*} f(\tfrac{1}{x}) &= \left(\frac{1}{x}\right)^2 + \dfrac{1}{\left(\frac{1}{x}\right)^2} && \REMTEXT{$f(x)$の定義から} \\ &= \dfrac{1}{x^2} + x^2 \\ &= x^2 + \dfrac{1}{x^2} && \REMTEXT{和の交換} \\ &= f(x) \\ f(\tfrac{1}{x}) &= f(x) && \REMTEXT{これがいえた} \\ \end{align*} $$

テトラ「あれ？　でも、この場合の対称軸はどこになるんでしょう？」

僕「というか、それよりも前に、これってどんなふうに《対称》なんだと思う？」

テトラ「わかりません……」

僕「$y$ 軸を対称軸とする線対称だったら、 $f(-x) = f(x)$ ということで、これはさっき話したこと。 原点を対称の中心とする点対称だったら、 $f(-x) = -f(x)$ だけど、 これは成り立っていない」

テトラ「はい」

僕「$x = -3,-2,-1,1,2,3$ の代わりに、逆数の $x = -\frac13,-\frac12,-1,1,\frac12,\frac13$ を入れてみるというのは、 《$x$ と $\tfrac1x$ とを入れ換える》ことだよね。 それは、ふつう考えるような、線対称や点対称じゃないと思うな……ええと」

テトラ「待って！　待ってください。答え、言わないでください。 それよりも、グラフを描きましょう！」

僕「確かに。まずは $y = f(x)$ のグラフを描くべきだね！」