第84回 シーズン9 エピソード4

卵のないしょ話（後編）

僕の部屋

僕「そういえば、楕円にはおもしろい性質があるんだよ。《ないしょ話を届ける》という性質」

ユーリ「何それおもしろそう！」

僕「広い聖堂を想像する。端から端まで何十メートルもあるから、隅の方で《ないしょ話》をしても反対側には聞こえない……」

ユーリ「ふんふん」

僕「……聞こえないように思える。ところが、この聖堂は壁面がちょうど楕円の形になっていた」

ユーリ「ほー！」

僕「ほら、楕円には焦点が二つあるよね。《ないしょ話》をしたい二人が焦点のところに立つんだよ。 たとえばお兄ちゃんが片方の焦点に、そしてユーリが別の焦点に」

ユーリ「え……でも、離れてるよね？」

僕「うん、小さな声だとその距離では直接届かない。でも、焦点から焦点には《ないしょ話》のような小さな声でも届くんだよ」

ユーリ「なんで？」

僕「音が反射するからなんだ。一つの焦点から《ないしょ話》の音が出ると、まわり中に音は広がっていく。 広いから、相手に直接届く音はほんの一部。でも、まわりに広がった音はやがて楕円形の壁に当たって反射する。 反射した音はどこに向かうかというと、すべてもう一つの焦点に向かう」

ユーリ「へー！」

僕「焦点からいったん広がった音が、壁で反射してもう一つの焦点に集まる。 楕円形にはそんな性質があるんだ」

ユーリ「ねーそれほんとの話？」

僕「ほんとうの話だよ。《ささやきの回廊》と呼ばれる現象で、そういう建築物が世界中のあちこちにあるそうだよ」

ユーリ「おもしろいにゃあ……あれ？　でも変なの」

僕「何が？」

ユーリ「楕円の焦点って、糸を引っ掛けたときのピンの位置だよね？」

僕「そうだよ。楕円を描くときに使ったピンの位置」

ユーリ「これって、反射とは何も関係ないじゃん？」

僕「まあ、そうだね。《焦点からの距離の和が一定である》という性質と、 《ないしょ話を反射で伝える》という性質は関係ないねえ……少なくとも直接は関係ない。 でも、この楕円の形はそういう性質を持っているってことだね」

ユーリ「えーと、ひっかかるにゃ。何でそんな性質を持つの？」

僕「《何で》と言われても困るけど……」

ユーリ「だって、すごく不思議じゃん？　楕円の壁のどこに当たっても、 きっちり相手の焦点に伝わるんでしょ？」

僕「もともと《焦点》という名前はそこから来てるんだと思うけどな。 つまり、楕円の壁が鏡になっているとして、焦点の片方から放った光は反対側の焦点を通る」

ユーリ「そして、戻ってくる？」

僕「戻ってくる？　ああ、そうなるね。焦点の片方から放った光は反対側の焦点を通って、 また壁で反射して自分に戻ってくるね。光が戻ってくる向きは放ったときの向きとは違うけど」

ユーリ「うっわー、不思議！　お兄ちゃん、証明してよ！」

僕「証明？」

ユーリ「うん！　だって、ほんとうに楕円にそういう性質があるなら、 証明できるはずでしょ？」

僕「まあ……そうか。そういえば、証明しようと思ったことないなあ。 どこかの本で《ささやきの回廊》の話を読んで、図を見てなるほどと思ったけど」

ユーリ「証明して！」

僕「うーん……でも」

ユーリ「どう？　できそう？」

僕「よし、図形として考えてみるか」

ユーリ「へ？　図形として考えるって、あたりまえじゃないの？」

僕「方程式を出さずに考えてみるってこと。うまくいくかどうか自信ないけどね……まず、図を描いてみる。 楕円と、焦点と、反射点。焦点は $A, B$ で、反射点は $P$ としよう」

ユーリ「わくわく！」

僕「この問題のポイントは《反射》ということをどうやって数学的に表現するかだね。 それから、反射した光線が《焦点を通過する》ということも」

ユーリ「うんうん！」

僕「楕円の壁が鏡になっていて、 $P$ で反射するというのは、 平らな鏡を持ってきて、楕円の点 $P$ で接するように置いたときに、 《$AP$ と接線の角度》と《$BP$ と接線の角度》が等しくなるということ。 だから、その二つの角度が等しくなることを示すのが目標」

ユーリ「なーるほど！　そんでそんで？」

僕「うん、だいぶわかってきたぞ……僕たちが使える条件は、この図形は《楕円である》ということ。 つまり《二つの焦点からの距離の和が一定》だよね。これが楕円の条件。 さっきはこの距離の和のことを $2R$ と置いた（第83回参照）」

ユーリ「あ、そっか。楕円の描き方がそのまま条件なんだ」

僕「それで、鏡を作り出すんだから……うん、こういう点 $C$ を作ってみよう。 焦点 $A$ から反射点 $P$ を通って、反射せずにまっすぐ延長して、ちょうど $AC$ の長さが $2R$ になるような点として、 $C$ を描く。つまり、 $PC = PB$ になるようにするということだね。」

ユーリ「あ！　この点 $C$ って《鏡に映った $B$》じゃない？」

僕「ユーリは賢いなあ。きっとそうなるんだけど、まだそうじゃない」

ユーリ「どゆこと？」

僕「点 $C$ は、点 $B$ を鏡に映して作ったわけじゃない。 $AP$ を延長して $AC = 2R$ になるように点 $C$ を取っただけ」

ユーリ「ふむふむ？」

僕「これから、点 $B$ と点 $C$ を使って鏡を作るんだよ。うまく鏡が作れたら証明は終わり」

ユーリ「鏡を作るって？」

僕「さっきもいったように、反射点 $P$ で楕円に接する接線を作るということ。 まあちょっと見てて。線分 $BC$ の中点として点 $D$ を取る」

ユーリ「……」

僕「そして、二点 $D$ と $P$ を通る直線 $\ell$（エル）を描く。これが鏡となる接線だね」