第82回 シーズン9 エピソード2

ジグザグドラゴン（後編）

すごい問題

テトラ「先輩！　あたし、すごい問題おもいついてしまいましたっ！」

僕「問題？」

テトラ「これです！」

僕「おっと！」

テトラ「このジグザグはどんな式で表せるんでしょうか？！」

僕「……このグラフ、ずっと続いているってことだよね？」

テトラ「はい、そうですっ！　無限のかなたから、無限のかなたまで！」

僕「なるほどねえ……テトラちゃんはどんなふうに考える？」

テトラ「はい。先ほど先輩は《$x$ の範囲を工夫して場合分け》なさっていましたよね。 あれと同じように考えればいいんじゃないかと思います（第81回参照）」

僕「うんうん」

テトラちゃんの解答

テトラ「つまり、山と谷に分ければすぐにできそうですっ！」

僕「うん、それは自然な発想だよね。ところで $x$ の範囲と、範囲ごとの方程式は書ける？」

テトラ「まず、真ん中の山は先ほど求めました。 $-1 < x < 1$ の範囲で $y = -\ABS{x} + 1$ です」

僕「そうだね」

テトラ「それから、右の山は $3 < x < 5$ の範囲で……あ、 $y = -\ABS{x} + 1$ じゃない……」

僕「うん、右に $4$ だけ平行移動しなきゃいけないね」

テトラ「ということは、 $x$ を $4$ 増やすから $y = -\ABS{x + 4} + 1$ ですね」

僕「違うよ、逆なんだ。それ、すごく間違いやすいところ。 《グラフを右に $4$ 動かす》というときは $x$ を $x - 4$ に変えた方程式にしなくちゃいけないんだよ。 つまり、 $y = -\ABS{x} + 1$ を $y = -\ABS{x - 4} + 1$ にするんだね」

テトラ「そうですね……わかりました。 《$x$ が $-1$ から $1$ まで動くとき》と同じ形を《$x$ が $3$ から $5$ まで動くとき》に描く……ということは、 確かに $x$ を $x - 4$ にしないとまずいですね」

僕「あわてると、それよく間違えるんだよ」

テトラ「えっと、ですから、 $3 < x < 5$ の範囲で $y = -\ABS{x - 4} + 1$ になります」

僕「そうだね。左の山は？」

テトラ「左の山は、 $-5 < x < -3$ の範囲で $y = -\ABS{x + 4} + 1$ です。こっちは逆に $x + 4$ にするんですね」

僕「うん、いいね」

テトラ「右の谷は……これは右に $2$ 動かしますから、 $1 \leqq x \leqq 3$ の範囲で $y = \ABS{x - 2} - 1$ です。 左の谷は、 $-3 \leqq x \leqq -1$ の範囲で $y = \ABS{x + 2} - 1$ です……」

僕「そのくらい調べたら、規則性を見つけて、一般的に表現できそうだね。 何しろ無数の山と谷を相手にしなくちゃいけないから、一般的に表現しないとまずい」

テトラ「はい……整理します。まず、山の方から」

僕「さあ、この三個から規則性を見つけられる？」

テトラ「……はい、できそうです。左右に $4$ ずつ動かせばいいので、 $4$ の倍数を作ればいいんですね？」

僕「いいねえ。 $n = -1, 0, 1$ で検算すると……うん、あってる」

テトラ「同じように谷も整理します」

僕「こっちもすぐ一般的に書けそうだ」

テトラ「はい！」

僕「これで完成だね」

テトラ「そうですね……」

テトラ「すぐにできそう！って言っちゃったんですが、 思った以上に大変でした……」

僕「そうだね。こういう場合分けは神経使うし」

僕の解答

テトラ「先輩はこの問題、どのように考えますか？」

僕「テトラちゃんは山と谷に分けて考えたけど、 僕はポリアの問いかけ《似てるものを知らないか》が思い浮かんだなあ」

テトラ「似ているもの……ですか」

僕「うん、このグラフを見ていると最初に思ったのは $y = \cos x$ と似ているなあということ」

テトラ「なるほどです！あとはこれをまっすぐにすればいいんですね！」

僕「でも、このサインカーブをまっすぐにするのは思いつかなかった。 それから思ったのは、どうしてこの問題Xのグラフが $y = \cos x$ のグラフと似ているかというと、 《周期性》があるからなんだね。つまり、 $x$ が変化したときに $y$ は周期的に同じ値を取る」

テトラ「そうですね」

僕「それで僕が思いついたのは $(-1)^n$ なんだ」

テトラ「$-1$ の $n$ 乗……」

僕「うん。 $(-1)^n$ で、 $n$ を $0,1,2,3,\ldots$ と変化させると、 $n$ が偶数のときは $(-1)^n = 1$ で、 $n$ が奇数のときは $(-1)^n = -1$ になる」

$$ \begin{array}{c|ccccccccccccccccc} n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & \cdots \\ \hline (-1)^n & 1 & -1& 1 & -1& 1 & -1& 1 & \cdots \\ \end{array} $$

テトラ「確かにそうですが……」

僕「だから、 $(-1)^n$ は周期的に同じ値を取る」

テトラ「で、でも先輩、 $(-1)^n$ の $n$ は整数ですよね……」

僕「そうだね。グラフを描くときは、 $x$ は整数だけじゃなくて実数全体を動いてしまう。 だから、こう考えたんだ。《実数から整数を得る関数》を利用すればいいなって」

テトラ「実数から整数を得る関数……といいますと？」