第79回 シーズン8 エピソード9

数を探る（前編）

僕の部屋

ユーリ「にゃあにゃあ！」

僕「へんな猫が来た」

ユーリ「へんにゃねこじゃ、にゃいにゃ！にゃにいってるにゃ！」

僕「無理に猫語で話すなよ。何いってるか、わからないし」

ユーリ「猫物語の（白）読んだ影響で猫化が加速中…」

僕「数学にぜんぜん関係ない前振りって珍しいな」

ユーリ「そんなことより、指数関数の話なんだけど」

僕「なにそれいきなり」

ユーリ「お兄ちゃん、こないだ指数関数と対数関数の話、してくれたじゃん？（第76回参照）」

僕「そうだったね」

ユーリ「ふと気付いたんだけど、お兄ちゃん、グラフ描いてくれたよね」

僕「これ？」

ユーリ「それそれ。でも、これってごまかしてるよね」

僕「え、どこが？」

ユーリ「だってさ、 $y = 10^x$ のグラフっていっても、 考えたのは $x$ が $1$ とか $2$ とかじゃん？　だったらグラフってテンテンになるんじゃないの？」

僕「ああ、そういうこと？　 $x$ が $\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots$ という整数しか考えてないって？」

ユーリ「そーそー。そして $x = 1$ のとき $10^x$ は $10$ だから、グラフ用紙からはみ出しちゃうよね」

僕「まあ、そうなるよね。でも指数関数 $10^x$ そのものは、 $x$ が整数以外でも定義できるよ。たとえば $10$ の $\dfrac12$ 乗も」

ユーリ「え！ $\dfrac12$ 乗！？」

僕「あれ？　この話、したことなかったっけ」

ユーリ「あったっけ。でも忘れた」

僕「がく。 $10$ の $\dfrac12$ 乗は、 $10$ の $0$ 乗を定義したときと同じように考えて定義すればいいんだよ」

ユーリ「$10$ の $0$ 乗って $1$ でしょ？」

僕「そうだね。 $10^0$ は $1$ に等しい。これは指数法則を満たすように定義したんだったよね。冪乗を掛け算すると、指数の部分の和になるという指数法則 $10^m \times 10^n = 10^{m+n}$ を使う」

$$ \begin{align*} 10^m \times 10^n &= 10^{m+n} && \REMTEXT{指数法則} \\ 10^0 \times 10^1 &= 10^{0+1} && \REMTEXT{$m = 0, n = 1$とした} \\ 10^0 \times 10 &= 10 && \REMTEXT{$10^1 = 10$で$10^{0+1} = 10$だから} \\ 10^0 &= 1 && \REMTEXT{両辺を$10$で割った} \\ \end{align*} $$

ユーリ「うんうん、そうだった。なんか思い出した。でも $10^{\frac12}$ は？」

僕「同じように、今度は $10^{\frac12} \times 10^{\frac12}$ も指数法則を満たすとしたら……と考えるんだよ。 $m$ と $n$ が $\dfrac12$ でも指数法則を満たすとしたら、 $10^{\frac12}$ はどんな値にならなくちゃいけないか、と考える」

$$ \begin{align*} 10^m \times 10^n &= 10^{m+n} && \REMTEXT{指数法則} \\ 10^{\frac12} \times 10^{\frac12} &= 10^{\frac12+\frac12} && \REMTEXT{$m = \dfrac12, n = \dfrac12$とした} \\ 10^{\frac12} \times 10^{\frac12} &= 10^1 \\ \left(10^{\frac12}\right)^2 &= 10 \\ \end{align*} $$

ユーリ「ふむふむ？」

僕「だから、 $10^{\frac12}$ は《$2$ 乗すると $10$ に等しい数》だとうれしい。だから、そう定義する」

ユーリ「《そう定義する》って？」

僕「《$2$ 乗すると $10$ になる数》は二つある。 $\sqrt{10}$ と $-\sqrt{10}$ だ。 そのうち正の数を採用することにして、つまり、 $10^{\frac12} = \sqrt{10}$ と定義するってことだよ」

ユーリ「うわそんな勝手に」

僕「$10^{\frac12}$ は《$10$ を何個か掛ける》という考え方では定義できないから、 指数法則を頼りにすることにした。それは自然な拡張になるからだね」

ユーリ「ふーん。あれ、でも、指数法則を満たすだけなら $10^{\frac12}$ を $-\sqrt{10}$ と定義してもよかったよね？」

僕「そうだね。なぜマイナスにしなかったかというと……なぜだろう。 たぶん、そうしてしまうと、 $10^x$ の変化がとっても不自然なものになるからじゃないかな。 $x$ が整数のときは $10^x > 0$ で、 $x$ が整数じゃないときには $10^x < 0$ になっちゃうから」

ユーリ「そっか」

僕「$10^\frac12 = \sqrt{10}$ で、 $10^\frac13 = \sqrt[3]{10}$ になる」

ユーリ「$\sqrt{\sqrt{10}}$ って何？」

僕「$\sqrt{10}$ は $10$ のルート、つまり平方根の正の方だね。二乗すると $10$ になる二つの数のうち、正の方。 $\sqrt{\sqrt{10}}$ はその数のさらにルートを取ったもの」

ユーリ「$10$ のルートのルート？」

僕「そうだね。 $\sqrt{\sqrt{10}}$ は $10$ の四乗根の一つになるよ」

ユーリ「それって、どんくらい大きい数なの？」

僕「え？」

ユーリ「$\sqrt{\sqrt{10}}$ って数でしょ？　どのくらいの大きさかなって」

僕「計算してみようか」

$$ \begin{array}{rllll} 10^{\frac12} &= \sqrt{10} &= 3.16227766016838\cdots \\ 10^{\frac14} &= \sqrt{\sqrt{10}} &= 1.778279410038923\cdots \\ \end{array} $$

僕「$\sqrt{10}$ は $3.16$ くらいで、 $\sqrt{\sqrt{10}}$ は $1.77$ くらい。四捨五入すれば $1.78$ ってとこかな」

ユーリ「あっ！　 $10$ より小さいんだ！」

僕「そうだね。 $\sqrt{10}$ も $\sqrt{\sqrt{10}}$ も $10$ より小さい。 それは指数関数のグラフからもわかる」

ユーリ「どゆこと？」

僕「$\sqrt{10} = 10^\frac12 = 10^{0.5}$ だし、 $\sqrt{\sqrt{10}} = 10^\frac14 = 10^{0.25}$ だよね」

ユーリ「$10^{0.5}$ と $10^{0.25}$ ……そーだけど？」

僕「ほら、指数関数のグラフは右上がり。 $x$ が大きい方が $10^x$ も大きい。 $0.5$ より $1$ は大きいし、 $0.25$ より $1$ は大きい」

ユーリ「ごめん、何言ってるかわかんない」

僕「難しい話じゃないよ。《$x < 1$ ならば $10^x < 10^1$ だ》っていってるだけ」

ユーリ「……あ、そゆことか。あたりまえじゃん！」

僕「そうそう。あたりまえのこと。指数関数のグラフみたいに右上がりの関数を増加関数っていう。 指数関数が増加関数であるっていうのは、《$a < b$ ならば $10^a < 10^b$ が成り立つ》ということだね」

ユーリ「んー……んんん。数学って、当たり前のことをめんどくさく言うんだね」

僕「めんどくさくっていうより、きっちり言おうとしているんだよ」

ユーリ「まー、そゆところは好きだけど」

僕「$a < b$ ならば $10^a < 10^b$ が成り立つし、 $10^a < 10^b$ が成り立てば、 $a < b$ が成り立つ。 《指数関数を通しても、数の大小関係は変化しない》ともいえるね」

ユーリ「ふんふん。簡単だね！」

僕「言ったな。ではクイズを出すよ。 $\LOG{\sqrt{10}}$ を求めよ！」