第23回 シーズン3 エピソード3

行ったり来たりの迷い道（前編）

僕の部屋

ユーリ「お兄ちゃん、これ何？」

ユーリは、僕がそのへんに放り出していたルーズリーフを持ってきた。 彼女は中学二年生、僕の従妹（いとこ）だ。 でも僕のことをいつも《お兄ちゃん》と呼ぶ。

僕「ん？　この図のこと？」

ユーリ「なんか、おもしろそーじゃん」

僕「おもしろいよ。これは単位円を使って……」

ユーリ「たんいえん？」

僕「単位円っていうのは半径が $1$ の円のことだよ」

ユーリ「ふーん……」

僕「まず、単位円の円周上に点を置く。それからその点をぐるっと回していくんだよ。こんなふうに、 $30^\circ$ ずつね」

ユーリ「ほーほー。 $360^\circ$ でぐるっと回るんだね」

僕「そうだね。 $360^\circ$ で $0^\circ$ に戻る」

ユーリ「そんでそんで？」

僕「単位円を使うと三角関数の定義ができるんだよ」

ユーリ「さんかくかんすー？　難しそー」

僕「そんなことないよ。単位円の円周上でぐるぐる回る点の《$x$ 座標がコサイン》で《$y$ 座標がサイン》なんだよ。それだけのこと」

ユーリ「あ、コサインとか、サインとか、聞いたことある」

僕「回転させたときの角度を $\theta$（シータ）とすると……」

ユーリ「『シータ。いい名前だね』」

僕「？」

ユーリ「ラピュタ、知らないの？」

僕「アニメは関係ない……いや、あるのかな。まあいいけど、とにかく角度を $\theta$ と書くことにすると、 $x$ 座標のことを $\cos \theta$（コサイン・シータ）と呼んで、 $y$ 座標のことを $\sin \theta$（サイン・シータ）と呼ぶんだよ」

ユーリ「なんで？」

僕「いや、理由はないよ。これが $\cos \theta$ と $\sin \theta$ の定義なんだから。 単位円の円周上の点の座標を使って $\cos \theta$ と $\sin \theta$ を定義したんだ。 よく使うものだから名前を付けたと思ってもいいよ」

ユーリ「《コサインちゃん》と《サインくん》みたいに？」

僕「まあ、そうだね。三角関数っていうと難しそうだけれど、 単位円を描くと定義はすぐに覚えられるよね。コサインとサイン。 角度 $\theta$ を変えて点を回すと $x$ 座標と $y$ 座標もそれぞれ変わる。 それだけのことなんだ。 それだけのことなんだけど、三角関数を使うとおもしろい式がいろいろ……」

ユーリ「でたな数式マニア。でも、数式はもういいや。こっちの図は？」

僕「ああ、これはお兄ちゃんが落書きしてたんだよ。何となく点を結んでね」

ユーリ「まわりの数字はなに？」

僕「え？　角度だよ。単位円の円周上の点が回転するとき、 $0^\circ$ だったらどの線になるか、 $30^\circ$ だったらどの線になるかを書き込んだんだ」

ユーリ「ふーん……」

【プチ数学アニメ（その１）】

ユーリ「……ところで、お兄ちゃん。これって時計みたい」

僕「そうだね。角度は時計の進む向きとは逆回りだけどね。 たまたま $30^\circ$ ずつに区切ったから、ちょうど $12$ に分かれて、 しかも、中心から回りに広がっている線もあるし」

ユーリ「線を書かなくても時計っぽいよー」

僕「まあ、そうかな」

ユーリ「お兄ちゃん、タテヨコの交差点を円がビシッと通るの、キモチいいよね」

僕「そうだね……ねえユーリ、 数学では交差点じゃなくて交点（こうてん）っていうんだよ。確かに道路の交差点と似てるけど」

ユーリ「タテ線とヨコ線のあいだが広くなったり狭くなったりして、こーてんが丸く並ぶの、おもしろいにゃ」

ユーリは図をながめている。 何かを考えているようだ。 しばらくたってから、ユーリは話し出す。

ユーリ「……ねーお兄ちゃん、タテの線とヨコの線って $7$ 本ずつあるじゃん？」

僕「そうだね。タテに $7$ 本、ヨコに $7$ 本」

ユーリ「んで、 $7 \times 7 = 49$ で、 $49$ 個の交点があるわけじゃん？」

僕「そうだね」

ユーリ「$49$ 個も交点があるんだからさ、他の図形も描けそーじゃん！」

他の図形を描こう

僕「ユーリ！　それはおもしろい！」

ユーリ「わ、びっくりした！　そんなにおもしろい？」

僕「うん、おもしろいことを思い出した。これから他の図形を作ってみよう」

ユーリ「？」

僕「さっき、単位円で、 $x$ 座標が $\cos \theta$ で、 $y$ 座標が $\sin \theta$ という話をしたよね」

ユーリ「うん」

僕「そこでは、両方とも同じ角度 $\theta$ を使っていた」

ユーリ「うん？」

僕「逆にいえば、 $\cos$ と $\sin$ に同じ角度 $\theta$ を与えると、単位円ができたわけだね」

ユーリ「うん……それで？」

僕「ではね、 $\cos$ と $\sin$ に渡す角度を $30^\circ$ ずらしてみよう。たとえば $\sin$ の方を $30^\circ$ 先に進める。そうしたら、どんな図形ができるだろうか」

ユーリ「なに言ってるかわかんない。難しーよ」

僕「簡単な話だよ。図で説明しようか。たとえば、タテとヨコの両方が $0^\circ$ の線のときはこの点になる」

$(x, y) = (\cos 0^\circ, \sin 0^\circ)$

ユーリ「うん」

僕「この点 $(\cos 0^\circ, \sin 0^\circ)$ からスタートしてぐるっと回れば、単位円ができたわけだ」

ユーリ「うん、それで？」

僕「これから、 $\sin$ を $30^\circ$ 先に進めたらどんな図形ができるかを考えよう。 《$\sin$ を $30^\circ$ 先に進める》というのは《ヨコ線を一歩先に進める》ってことだよ。 つまりこの点 $(\cos 0^\circ, \sin 30^\circ)$ からスタートするんだ」

$(x, y) = (\cos 0^\circ, \sin 30^\circ)$

ユーリ「ほほー。なるほど。ヨコ線を上げたんだね。そーすると、どーなるの？」

僕「それが問題だよ。ヨコ線を、タテ線よりいつも $30^\circ$ 進めた状態で、ぐるっと回したらどうなるかな？」

ユーリ「む、むー……」